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cronicas la elipse

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Anotaciones acerca de la elipse: Defininicin, deduccin de su ecuacin, ejercicios resueltos y propuestos sin solucin Elaborador por Francisco Cuarezma y el Profesor Jos David Alemn Prez quien labora en el Instituto Nacional Autnomop De Ticuantepe Managua Nicaragua. Gracias

Agregado: 05 de SEPTIEMBRE de 2006 (Por Jos David Alemn Prez) | Palabras: 2791 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografas > Matemticas >
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    Autor: Jos David Alemn Prez (jmatematico03@yahoo.com.mx)

    Este apunte fue enviado por su autor en formato DOC (Word). Para poder visualizarlo correctamente (con imgenes, tablas, etc) haga click aqu o aqu si desea abrirla en ventana nueva.


    UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE NICARAGUA.


    RECINTO UNIVERSITARIO RUBN DARO.


    FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN Y HUMANIDADES.


    DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.


    GRUPO: F-421.


     


    ASIGNATURA: INFORMTICA PARA MATEMTICAS.


     


    DOCENTE: DRA. ONEYDA ORTEGA.



     


     


     


     



    TEMA DESARROLLADO: LA ELIPSE.


     


    DOCUMENTO ELABORADO POR:


     


    BR. JOS DAVID ALEMN PREZ.


     


    BR. FRANCISCO CUAREZMA.


     


    MIRCOLES 17 DE Noviembre de 2004.
    LA ELIPSE.


     


    Definicin: Una elipse es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.


     


    Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definicin excluye el caso en que el punto mvil est sobre el segmento que une los focos.


     


    Designemos por F y F  (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l  que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el trmino de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v, llamados vrtices


    La porcin del eje focal comprendida entre los vrtices, el segmento vv , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el trmino eje normal para designarla. El eje normal l corta a la elipse en dos puntos, A y A , y el segmento AA se llama eje menor. Un segmento tal como BB que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL perpendicular al eje focal l se llama lado recto.  Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene tambin dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD, se llama dimetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y FP que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores.


     


     


     


     


     


     


    Ecuacin de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.


     


    Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F estn sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF las coordenadas de F y F sern, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definicin de la curva, el punto P debe satisfacer la condicin geomtrica 


     


        (1)


    En donde a es una constante positiva y mayor que c.


     


    Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos


    = ,      = , de manera que la condicin geomtrica (1) est expresada analticamente por la ecuacin


     


    + = 2a        (2).


     


    Para simplificar la ecuacin (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los trminos semejantes. Esto nos da


     


    cx+a2 = a


     



     



    Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos



     de donde, 


        (3)


    Como 2a >2c es a2>c2  y -c2 es un nmero positivo que puede ser reemplazado por el nmero positivo b2, es decir,


    b2= - c2                               (4)


    Si en (3) reemplazamos - c2   por b2 obtenemos,


     


    b2x2+a2y2= a2b2


    y dividimos por  a2b2 , se obtiene, finalmente,


     


                (5)


     


    Ahora discutiremos la ecuacin (5). Por ser a y a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vrtices V y V son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definicin de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y b  por tanto, las coordenadas de los extremos A y A del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.


    Por la ecuacin (5) vemos que la elipse es simtrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.


     


    Si de la ecuacin (5) despejamos y, obtenemos


     


                            (7)


    Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo


                                       (8)


     


     


     


    Si de la ecuacin (5) despejamos x, obtenemos ,


    De manera que se obtienen valores reales de x solamente para valores de y dentro del intervalo                         (9).


     


    De (8) y (9) se deduce que la elipse est limitada por el rectngulo cuyos lados son las rectas  y  . Por tanto la elipse es una curva cerrada.


     


    La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos x por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son


     de donde por (4) resulta    ?


     



     


    Por tanto la longitud del lado recto para el foco F  , y de forma anloga la longitud del lado recto para el foco F es .


     


    Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razn  y se representa por la letra e , de (4) tenemos que        (10).


     


    Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.


     


     


     


    Hasta aqu hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuacin (5) hallamos que la ecuacin de la elipse es


     


                                  (11)


     


    Veamos la siguiente tabla que resume los resultados obtenidos hasta este momento.



     


    Adems podemos resumir todos estos resultados en el siguiente


     


    TEOREMA1.


    La ecuacin de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es


     


            


    Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F(0,-c)  la ecuacin de la elipse es


     


     


     


    Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c estn ligados por la relacin   a2= b2+c2.


     


    Tambin, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es , y la excentricidad e est dada por la frmula e



    NOTA: Si reducimos la ecuacin de una elipse a su forma cannica, podemos determinar fcilmente su posicin relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los trminos x2  y  y2. El denominador mayor est asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.


     


    Veamos algunos ejemplos.


     


    1. Encuentre los vrtices y los focos  para la elipse  9x2+4y2=36 y trazar su grfica.


     


    Solucin


    Debemos proceder de la siguiente forma:


    Dividir toda la ecuacin por 36


                                                                   


    Lo que resulta,  que tiene la forma         


    Donde el eje mayor es el eje vertical.


    Donde b2=4 o bien b=2 y a2=9 o bien a=3.


    De esta forma obtenemos los vrtices que son V(0,3)  y    V(0,-3)


    Puesto que c2= b2- a2 entonces   c=


    Luego los focos estn en el eje Y y sus coordenadas son F (0, )   y F(0,- )  y la grfica correspondiente es la



     


     


     


     


    2. Encuentre la ecuacin de una elipse con vrtices V(5,0)  y V(-5,0)  y focos F(2,0) y F(-2,0). Trace la grfica.


     


     


     


    Solucin


    Al ubicar las coordenadas de los vrtices y de los focos vemos que estos estn en el eje de las X por tanto el eje mayor es el eje X que tambin podemos decir que es el eje focal.


    De donde tenemos que a=5 y c=2 y luego b2=25-4=21  y as  b=


    Por tanto la ecuacin de la elipse tiene la forma



    Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuacin que estamos buscando es


     




     


     


    Ecuacin de la elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados


     


    Consideremos, la elipse cuyo centro est en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X tal como se indica en la figura 3  


                                                                           


    Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados d3e manera que el nuevo origen O coincida con el centro (h,k) de la elipse, del teorema 1 tenemos que la ecuacin de la elipse con referencia a los nuevos ejes X y  Y est dada por  


        (a).


    De la ecuacin (a) puede deducirse la ecuacin de la elipse referida a los eje originales X  y Y usando las ecuaciones de transformacin  


    x=x+h       y=y+k.


    Traslacin de coordenadas


     



    Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O(h,k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y despus de la traslacin son (x,y)   y (x,y), respectivamente, las ecuaciones de transformacin del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son x=x+h y y=y+k.


     


    De donde x=x-h   y     y=y-k.


    Si sustituimos los valores de x y y en la ecuacin (a) obtenemos


     


                    (b)


                   


    Que es la ecuacin de la elipse referida a los eje originales X y Y.


    De forma similar, podemos demostrar que la elipse cuyo centro es el punto C(h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuacin


                                                                                    (c)


     


    Las ecuaciones (b) y (c) se llaman la segunda ecuacin ordinaria de la elipse.


    Estos resultados junto con el teorema 1 nos conducen al siguiente:


     


     


    Teorema:


    La ecuacin de la elipse de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X est dada por la segunda forma ordinaria,


     



    Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuacin est determinada por la segunda forma ordinaria



     


    Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia del centro a cada foco y a, b, c estn ligados por la relacin a2=b2+c2.


     


    Tambin para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es  y la excentricidad est dada por la relacin


     


    e


     Ejemplo


    Los vrtices de una elipse tienen por coordenadas V(-3,7)  y V(-3,-1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuacin de la elipse, las longitudes de sus ejes menor y mayor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.


     


    Solucin:


     


    Como los vrtices V y V estn sobre el eje focal y sus abscisas son ambas (-3) (ver figura 4) se sigue que el eje focal es paralelo al eje Y. Por tanto, por teorema 2, la ecuacin de la elipse es de la forma



     


    El centro C es el punto medio del eje mayor VV y sus coordenadas son por lo tanto


    C(-3,3).   C=Pm


     


      La longitud del eje mayor VV es 8


      Por tanto, 2a=8 de donde a=4.


     


    La longitud de cada lado recto es =2  como a=4   se sigue que 2b2=8 , luego b2=4 por tanto b=2.


     


    Y la longitud del eje menor es 4.


    Luego la ecuacin de la elipse es



     



     


     


     


    Tambin, c2=a2-b2=16-a=12, de donde c= por tanto las coordenadas de los focos son F(-3, 3+ )   y


    F(-3, 3- )


     


     


     


     


     


     


    Y la excentricidad  e


     


     


     


     


     


     


     


    Propiedades de la elipse.


     


    1.    La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuacin b2x1x+a2y1y=a2b2


     


    2.    Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2+a2y2=a2b2  son y .


     


     


    3.    La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ngulo formado por los radios vectores de ese punto.


     


     


    Consideremos ahora la ecuacin de la elipse en la forma


                   (2)


    Si quitamos denominadores, desarrollamos, trasponemos y ordenamos trminos (____), obtenemos


                (4).


     


    La cual puede escribirse en la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0               (5)


     


    En donde A=b2, C=a2, D=-2b2h,  E=-2a2k   y  F= . Evidentemente, los coeficientes  A y C deben ser del mismo signo. 


    Recprocamente, consideremos una ecuacin de la forma (5) y reduzcmosla a la forma ordinaria (2) completando cuadrados. Obtenemos


     


            (6)


    Sea M . Si M≠0, la ecuacin (6) puede escribirse en la forma


     


                                                                     (7)


     


    Que es la ecuacin ordinaria de la elipse. Como A y B deben concordar en signo, podemos suponer, sin perder generalidad, que son ambos positivos. Por lo tanto, si (5) representa una elipse, la ecuacin (7) demuestra que M debe ser positivo. El denominador  de M es positivo; por tanto el signo de M depende del signo del numerador , al que designaremos por N. De acuerdo con esto, comparando las ecuaciones (6) y (7), vemos que si N>0, (5) representa una elipse; de (6), si N=0, (5) representa el punto nico  , llamado usualmente una elipse punto, y si N<0, la ecuacin (6) muestra que (5) no representa ningn lugar geomtrico real.


    Una discusin semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuacin ordinaria de la elipse. Luego tenemos el siguiente:


     


     


     


    Teorema3


    Si los coeficientes A y C son del  mismo signo, la ecuacin Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto,  o no representa ningn lugar geomtrico real.


     


     


     


    Ejemplo


    Hallar los elementos de la elipse 25x2+16y2-50x+64y-311=0


     


     


    Solucin: Empezamos  reduciendo la ecuacin dada a la segunda forma ordinaria de la ecuacin de la elipse, esto es:


     



     


     


    Como el denominador de la segunda fraccin es mayor que el de la primera, entonces el eje mayor de la elipse es vertical o bien paralelo al eje Y de donde a2=25  y b2=16, luego a=5 y b=4.


    Adems c2=25-16=9, de donde c=3.


    Por tanto:


    Vrtices: B(5, -2); B(-3,-2);  V(1, 3);  V(1, -7).


    Focos: F(1,1); F(1, -5).


     


     


    Luego su grfica es


     


     


     


     


     


     


     


    Ejercicios propuestos


     


     


     


    1)    Encuentre los vrtices y los focos para la elipse 9x2 +3y2=27


     


     


    2)    Encuentre una ecuacin de la elipse con focos (0, ) tal que la longitud  del eje mayor es 12.


     


     


          3) Encuentre los focos y los vrtices de la elipse


               4x2+16y2-96y+84=0


     


     


          4) Encuentre una ecuacin de la elipse con centro (2,-1) de eje


               Mayor Vertical de longitud 6 y eje menor de longitud 3


     


     


          5) Encuentre el centro, los focos y los vrtices  para la elipse     


              x2+


     


     


          6) Encuentre la ecuacin de la elipse con vrtices V (5, 0) y


              V(-5, 0) y  focos F(3, 0) y F(-3, 0)


     


     


          7) Encuentre la ecuacin de la elipse con F(0,3); F(0,-3) y que  


               pasa por el punto


     


     


     


          8) Encuentre la ecuacin de la elipse con centro C(1, 3), un foco   


               F (1,9)     y un vrtice V(1, -1)  


     


     


     


     


     


    Respuestas


     


    1)    V(0, 3); V(0, -3); B( ; B(- ;  F(0, ; F(0,- ;


    2)   


     


    3)    La expresin  es la ecuacin en la segunda forma ordinaria, de donde fcilmente vemos que los vrtices son: V(5, 3); V(-3, 3); B(1, 5); B(1, 1);     y los focos son F(1+   y F(1-2  , 3).


     


     


     


    4)         o bien  


     


     


    5)    C(0, 0);  F(0, ; F(0, - ;  V(0, 4); V(0, -4); B(1, 0);


          B(-1, 0)


     


    6)   


     


    7)   


     


     


    8)   


     


    BIBLIOGRAFA


    1.    lgebra y Trigonometra, segunda edicin. ZILL Y DEWAR.


    2.    Geometra Analtica, tercera edicin. CHARLES LEHMANN.


    Elaborado por los Bachilleres:


    1.    Jos David Alemn Prez


    2.    Francisco Cuaresma.

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