Fórmula para generar el triángulo de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es muy conocido por todo el mundo, uno de sus triángulos más conocido es el de lados 3, 4 y 5. Catetos 3 y 4, hipotenusa 5. Existe una demostración gráfica de dos cuadrados uno dentro de otro haciendo que las esquinas del cuadrado interior toquen los lados del cuadrado exterior, como sigue:

Demostración del teorema de Pitágoras:

El área del cuadrado exterior: (a + b) ²

El área del cuadrado interior:  c²

El área del triángulo recto: a * b / 2

El área del cuadrado exterior: área del cuadrado interior + área de los 4 triángulos rectos.

Igualando:

(a + b) ² = c² + 4 * (a * b / 2)

Desarrollando:

a² + 2 * a * b + b² = c² + 2 * a * b                 simplificando términos iguales (2 * a * b):

a² + b² = c²

Desde una colección de triángulos rectángulos conocidos tenemos:

De los cuales podemos encontrar que varias secuencias de triángulos que son múltiplos de otros valores de triángulos bases, por lo tanto nos quedamos con los siguientes:

En base a estos triángulos primigenios que son submúltiplos de los que hemos eliminado, pasamos a analizarlos para encontrarnos con la fórmula que genera los triángulos rectos:

Nuestro primer triángulo es el 3, 4, 5; nuestro siguiente triángulo es el 5, 12, 13, por lo tanto nuestro lado más pequeño es un impar, por lo tanto su secuencia de crecimiento es de 2 en 2; el siguiente lado pasa de 4 a 12, por lo tanto hubo una multiplicación de 4 x 3, el tercer número es una unidad mayor que el cateto mayor es decir 12 + 1 es 13. En este punto tenemos cómo hallar el menor cateto y la hipotenusa, nos falta el cateto mayor. Prosigamos, el siguiente impar es 7, el cateto mayor es 4 x 6 entonces 24, su hipotenusa es 25, el siguiente triángulo empieza con impar es 9, el cateto mayor es 4 x 10 entonces 40 y la hipotenusa es 41, el siguiente triángulo empieza con impar es 11, el cateto mayor es 4 x 15 entonces 60 y la hipotenusa es 61, y así sucesivamente.

Por lo tanto las fórmulas que necesitamos son:

Para el cateto menor 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …

Para el cateto mayor 4 x (1+ (2 + (3+ (4+ (5 + (6+ (7+ …))))))

Nos da soluciones: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112 …

Para la hipotenusa:  cateto mayor + 1: 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113 …

En base a la secuencia numérica para encontrar los lados mayores del triángulo a partir del cateto menor, nos encontramos con una acumulación de números secuenciales para poder hallar el cateto mayor.

Aprovechamos la fórmula para la suma de números secuenciales de razón aritmética:    S = (a + u)* n /2

Donde S = suma de términos;

a = primer elemento de la serie;

u = último elemento de la serie;

n= cantidad de términos de la serie.

En nuestra secuencia el último término coincide con la cantidad de términos de la serie.

Generando la fórmula general para la creación de triángulos rectos con números (enteros) que cumplan el teorema de Pitágoras:

Cateto menor = X        impar, por lo tanto su número de orden es (X-1)/2

Cateto mayor es 4 * S = 4 * (1 + (X-1)/2 ) * ((X-1)/2)/2       operando logramos obtener sucesivamente 4 * ((2 + X – 1)/2) * (X – 1)/4          y luego (1 + X) * (X – 1) / 2    lo que nos resulta en una fórmula (X² – 1)/2

Resumiendo:

Cateto menor = X

Cateto mayor = (X² – 1)/2

Hipotenusa = cateto mayor + 1

Generalizando: Dado cualquier valor para un cateto del triángulo recto, podemos hallar el triángulo de Pitágoras que se ajuste a dichos valores.

Un ejemplo: para a=2, obtenemos b=1.5 resultando c=2.5, que viene a ser nuestro triángulo 3,4,5

Para cateto menor un número impar nos resultan triángulos diferentes y primigenios, pero para números pares, nos resultan múltiplos o submúltiplos de otros triángulos.

Con esto provocamos nuevas series, por ejemplo con el ”cateto menor” = 2, nos resulta según la fórmula base “cateto mayor” = 1.5, y la hipotenusa = 2.5, multiplicando todo por dos para pasarlo a números enteros, nos da nuestro ya conocido 3,4,5, pero para otros pares como 4, nos da 7.5 y 8.5, al convertirlo a enteros nos da 8,15,17, generando una nueva secuencia de triángulos rectos de lados enteros para cateto menor (X) a partir de 4 y sus múltiplos, por ejemplo X=4, X=8, X=12 y sucesivos:

En base a las secuencias encontradas para triángulos rectos de lados enteros, podemos llegar a otra fórmula para cateto menor (X) a partir de 4 + múltiplos de 8, por ejemplo X=12, X=20, X=28 y sucesivos:

Esta última fórmula aplicada para X = 16, estamos obteniendo nuestro consabido triángulo 3, 4, 5 multiplicado por 4.

Y así podemos seguir generando fórmulas para otras secuencias hasta lograr una fórmula general generadora de triángulos rectos.

Javier Dillon

Ingeniero Industrial

javidil@hotmail.com