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Miércoles 29 de Mayo de 2024 |
 

Teoría del caos.

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Introducción. Espacio de estados y atractor caótico. Estabilidad. El multiplicador de Lyapunov. Señales cuasi-periodicas

Agregado: 29 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 856 | Votar |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Derecho >
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    TEORIA DEL CAOS

    Introducción

    Es necesario aclarar desde el comienzo, que la conducta caótica es la agregación de muchas conductas ordenadas, si bien ninguna de ellas prevalece en situaciones ordinarias. El caos es impredecible, pero determinable. O dicho de otro modo, el caos no es aleatorio, tiene un orden subyacente.

    En un principio, la teoría del caos se aplicaba al análisis de circuitos electrónicos, encontrando resultados tales como el aumento de la potencia de láseres (Ditto y Pecora) y la sincronización de circuitos. Fue demostrado entonces, que era posible sincronizar dos sistemas caóticos, siempre y cuando fuesen excitados por la misma señal, independientemente del estado inicial de cada sistema (Neff y Carroll). O sea, que al perturbar adecuadamente un sistema caótico, se lo está forzando a tomar uno de los muchos comportamientos posibles. Lo que ocurre, es que el caos es sensible a las condiciones iniciales. Sin sincronismo, dos sistemas caóticos virtualmente idénticos, evolucionarán hacia estados finales distintos.

    Mas tarde, pudo aplicarse al análisis de oscilaciones en reacciones químicas, y al seguimiento del latido cardiaco. En los últimos años, la biología se hace cargo de este nuevo tipo de abordaje de procesos, modelizando comportamientos enzimáticos (Hess y Markus). Los sistemas naturales son, en su gran mayoría, no lineales, y justamente el caos, es un comportamiento no lineal.

    Espacio de estados y atractor caótico

    Para caracterizar un sistema dinámico, contamos con variables dinámicas (por ejemplo, posición y velocidad), y variables estáticas, estas últimas son los parámetros o constantes. Un espacio de estados, es una representación gráfica cartesiana, donde cada eje es una variable dinámica. Cada punto es una instantánea del estado, y la línea descripta por esa sucesión de puntos ("fotos"), se denomina trayectoria. Dicha trayectoria es arrastrada hacia una región del espacio de estados llamada atractor, que no es sino la manifestación de los parámetros fijos y de las ecuaciones que determinan los valores de las variables dinámicas (Hamilton - Jacobi).

    El período del atractor, siempre y cuando no posea un n infinito de ciclos, será predecible. Es justamnete el sistema que posee un período infinito de ciclos, aquel que constituye un atractor caótico, es una colección infinita de comportamientos periódicos inestables, o en todo caso, una combinación de órbitas periódicas e inestables. Sin embargo, el atractor caótico de un sistema en particular no varía, si se llega a conocer, es posible controlar el sistema.

    En realidad, un atractor puede tener tantos ejes como se quiera, el problema es graficarlo. Si se elige un gráfico en tres dimensiones, este puede estudiarse mejor si se lo corta en "rebanadas". Dichos cortes o secciones, se denominan secciones de Poincaré.

     

    ATRACTOR CAOTICO.

    Consta de múltiples órbitas periódicas -por ejemplo, la órbita de periodo uno (en rojo) y la órbita de periodo dos (en azul). Este atractor representa un sistema cuya velocidad y posición cambian a lo largo de una sola dirección. Un eje representa la posición, el otro la velocidad. Los atractores pueden ser multidimensionales, pues los sistemas pueden tener muchas variables, que equivalen a otras tantas dimensiones en el espacio de estados: por ejemplo, posiciones y velocidades que varíen en tres dimensiones.

     

    Estabilidad

    Un sistema se considera estable, si frente a una perturbación ligera, su trayectoria cambia muy poco. El multiplicador de Lyapunov, es una magnitud creada con el fin de discernir entre dos posibilidades extremas: un valor <1 significa que la perturbación se amortiguará y el sistema es estable, un valor >1 significa que el sistema se tornará inestable a la perturbación. Por ello, todo sistema caótico tiene Lyapunov >1.

    Sin embargo, la estabilidad no solo depende de las propiedades del sistema, sino también de la señal excitadora. Tan grandes fueron los éxitos de Carroll y Pecora en aplicar señales caóticas para gobernar las partes estables de sistemas caóticos, que pensaron en la ventaja de excitar directamente con señales caóticas para obtener un sistema estable.

    Si se dispone de dos sistemas identicos, ligados a un atractor no caotico, de por ejemplo periodo dos, y ssse inician en estados distintos, las salidas nunca serán iguales, los sistemas nunca alcanzan el sincronismo. Si en cambio, se aplica una señal caotica, es posible ponerlos en fase. La cuestión se reduce entonces a encontrar la señal adecuada a cada sistema.

     

    SECCION DE POINCARE.

    Viene a ser, más o menos, una rebanada perpendicular extraída del atractor caótico, que en este ejemplo es una versión tridimensional del atractor que vimos en In imagen anterior. Los puntos de Ia sección de Poincaré representan distintas órbitas periódicas inestables. La órbita de periodo uno se reduce a un solo punto (en roio), y la órbita de periodo dos se corresponde con dos puntos (en azul). La determinación de la sección de Poincaré constituye un paso clave para controlar el caos.

     

    Señales cuasi-periodicas

    Otto Rssler, ensayó el control de sistemas electrónicos con ondas cuasi-periodicas. Estas ondas tienen una amplitud y longitud de onda en apariencia aleatorias entre un ciclo y el siguiente. Este comportamiento se debe justamente a la forma en que son construidas, se parte de una senoidal a la cual se le suma una señal caótica.

     


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