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tema i

Autores:

Prof. Mónica Moya de Ovando

Prof. Daniel Villagrán

Prof. Raúl Benegas

Ing. Fernando Rodríguez Solano

AÑO 1999

CONTENIDOS:

1.- Introducción

2.- El proceso de medición.

2.1.- Orden de magnitud y cifras significativas.

2.2.- El error. Clasificación

2.2.1.- Error mínimo.

2.2.2.- Errores sistemáticos y causales.

2.2.3.- Acotación de errores en una sola medición: error absoluto, de apreciación, de estimación, relativo y porcentual.

2.2.4.- Acotación de errores para varias mediciones: error cuadrático medio, error cuadrático medio del promedio.

2.2.5.- Mediciones indirectas: propagación de errores.

2.2.6.- Relación entre magnitudes medidas: correlación de valores.

2.2.7.- Método de los cuadrados mínimos.

OBJETIVOS:

Que el alumno sea capaz de:

•      Usar los conceptos de ordenes de magnitud y cifras significativas en procesos que los involucren

•      Reconocer los mecanismos del proceso de medición de objetos.

•      Determinar numéricamente características de los instrumentos de medición tales como alcance, sensibilidad (apreciación) y exactitud.

•      Reconocer fuentes de errores

•      Valorar la importancia de la acotación de errores en los procesos de medición.

•      Determinar procedimientos de acotación de errores en mediciones indirectas

•      Encontrar relaciones sencillas entre magnitudes medidas y expresarlas matemáticamente.

•      Reconocer los procedimientos de construcción de conocimientos de la ciencias

1.- Introducción

I1.- Le proponemos realizar las siguiente actividad:

Elija una regla y un objeto (borrador, hoja, etc.). Determine alguna parte a medir (ancho del borrador, largo de la hoja, etc.). Mida la parte que desea medir y llene la siguiente tabla:

Número de medición	Valor medido

Se preguntará por el número de mediciones propuestas. Le sugerimos que intente llenar la presente tabla, y analice los resultados obtenidos.

Nos podría decir cuál es el valor de la medida:

Seguramente muchas preguntas habrán surgido a medida que realizaba la práctica propuesta. Para ello, se propone a continuación una síntesis de teoría de errores, la que actualmente está en vigencia y que es producto de un intento de muchos años para sistematizar conocimientos de la ciencia que iniciamos su descubrimiento a partir de ahora.

Como habrá observado en las mediciones realizadas, no siempre los valores obtenidos son los mismos. Depende de cómo colocamos la regla para mirar las rayas indicativas, si se observan los números con claridad, si la regla está en buenas condiciones, etc.

Para ello analizaremos en qué consiste medir y cuáles son sus condicionamientos.

2.- EL PROCESO DE MEDICIóN

Cuando medimos, nos preguntamos:

¿qué medimos?, es decir el objeto.

¿con qué medimos?, es decir el instrumento.

¿en base a qué medimos?, es decir un sistema de referencia o patrón.

¿quién mide?, es decir el operador.

El objeto a medir limita el número de cifras significativas que podemos recoger en la medición

El instrumento determinará también, de acuerdo a sus características, el número de cifras significativas como lo hemos ejemplificado anteriormente.

El sistema de referencia, condiciona la exactitud por su propio proceso de medición y de definición en la calibración del instrumento.

El operario que interactúa con el instrumento y el objeto, también contribuye con las incertezas del proceso de medición.

2.1.- ORDEN DE MAGNITUD Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

ORDEN DE MAGNITUD es la potencia de diez más próxima al valor en cuestión.

Así, por ejemplo

1150 km	Es del orden de 1000 km = 103 km
7650 km	Es del orden de 10000 km = 104 km
335 m	Es del orden de 100 m = 102 m
850 m	Es del orden de 1000m = 103 m
0,25 lt	Es del orden de 0,01 = 10-2 lt
0,2 lt	Es del orden de 0,1 lt = 10-1 lt

Así también notamos que podemos expresar los valores o cantidades de lo medido con varios dígitos.

3,33 m supone que hemos medido con una regla hasta los cm.

3,332 m supone que hemos medido con una regla hasta los mm.

3,3 m supone que hemos medido con una regla hasta .......(completar)

En el primer caso decimos que hay 3 cifras significativas.

En el segundo caso hay 4 cifras significativas .

En el tercer caso hay 2 cifras significativas.

Por lo tanto, LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS, son la cantidad de dígitos que realmente se están midiendo con algún instrumento.

No podemos expresar para el tercer caso, que el valor de una medición dada es de 5,589 m, puesto que la información dada es mayor de la que realmente puede proveer este instrumento.

No podemos expresar para el primer caso que el resultado de una medición es de 5,5 m puesto que se pierde información acerca de la precisión de la medición realizada. La expresión correcta es 5,50 m.

Tengamos en cuenta que el orden de magnitud de la medida no determina la precisión de cifras de la misma.

¿Qué sucede cuando tenemos cantidades con ceros a la derecha de la coma?. Por ejemplo 2,3 m tiene el mismo número de cifras significativas que 0,0023 km. Observamos que el número de cifras significativas es 2. Para resolver este tipo de problema podemos recurrir a la notación científica. Es decir:

2,3 m = 2,3 x10² cm = 2,3 x 10^-3 km.

Lo anterior resuelve también el problema de la conversión de unidades, puesto que se puede mantener inalterado el número de cifras significativas. Un ejemplo común erróneo viene dado por conversiones como

2,3 m = 230 cm

I. 2.- ¿Puedes explicar por qué?

¿Obtendremos los mismos datos de medición realizado en la actividad propuesta por este texto, si se utiliza una regla para sastre que mide hasta los centímetros?. Evidentemente que no. Porque la precisión logrado con la regla milimetrada será distinta a la otra regla. Si reflexionamos un poco de cual es la causa, concluiremos que la información que brinda la primera regla es mayor. Podemos concluir entonces que el instrumento de medición ofrece limitaciones al proceso de medición que se traduce en el número de cifras significativas, entre otros, que provienen del que efectúa la medición como del objeto que queremos medir.

2.2.-EL ERROR : CLASIFICACIóN

De lo dicho anteriormente, los valores obtenidos cuando medimos magnitudes físicas, no tenemos cómo asegurar que corresponden al valor verdadero. Por ello, necesitamos determinar cual es el grado de incertidumbre o error de la cantidad obtenida. Entendemos aquí por error a la indeterminación o incerteza propia del proceso de medición y no lo tomamos como si fuera una equivocación por el operador. Matemáticamente expresaremos el resultado de la medición como:

X = V_m � E

donde E es la incertidumbre, incerteza o error cometido en el proceso de medición. Esta expresión nos está indicando que el valor de la magnitud medida se encuentra comprendida en el intervalo de números reales comprendido entre V_m - E y V_m + E. Gráficamente:

V_m - E V_m V_m + E X

A los fines de sistematizar el tratamiento de los errores cometidos comenzaremos por clasificarlos en función de sus posibles causas en:

2.2.1.- ERROR MíNIMO

Al analizar las cifras significativa, mencionamos que el objeto, el instrumentos, el operario, ofrecen limitaciones en el número de cifras que podemos medir. Es decir, cada uno de los sistemas que intervienen en el proceso de medición, introduce una incerteza o error en el valor medido. Ellos son:

error de definición(e_def): está determinado por la naturaleza del objeto a medir. (las rugosidades de un cuerpo aparentemente de superficie lisa, que por más que mejoremos el orden de cifra significativas, llega un momento que no puede mejorarse)

error de apreciación (e_ap): es el mínimo valor de medida que puede medir el instrumento.(Una cinta de sastre tendrá una apreciación de 1 cm o 0,5 cm)

error de interacción (e_int ): surge como resultado de la interacción entre operario, instrumento y objeto. Se introduce este error en la medida que perturbamos el sistema objeto de nuestra medición.(Medir con un cronómetro manual, tiempos del orden da magnitud de nuestra capacidad de reacción)

error de exactitud (e_exac): surge de la fidelidad con la que un instrumento recoge los datos de la realidad. (Un amperímetro clase 0,2, es decir, que a plena escala se comete un error de apreciación de 0,2 para 100 divisiones)

Podemos expresar el error mínimo (e_min )como que:

e_min = e_def + e_int + e_ap + e_exac

En muchos casos, de acuerdo a las necesidades de precisión del problema se efectuarán una medición o varias mediciones. Para acotar los errores experimentales podemos proceder de las siguientes maneras:

2.2.2.- ERRORES SISTEMÁTICOS Y CAUSALES

SISTEMÁTICOS: Son aquellos que ocurren siempre en una misma dirección. Por ejemplo, si la aguja de la balanza del señor que nos vende verdura en el mercado está un poquito corrida del cero, ya sea a la derecha o a la izquierda, el valor del peso de verdura que nos pese sufrirá sistemáticamente una incertidumbre por exceso o por defecto respectivamente. Cuando midamos en otra balanza calibrada más correctamente, nos daremos cuenta del error y podremos informar a nuestro verdulero para que efectúe la corrección necesaria. No obstante, es probable que si no le avisamos, este señor no tome conocimiento del error de su balanza, puesto que cono mide siempre con el mismo instrumento, será difícil que se percate de dicho error sistemático.

Concluimos entonces que un error sistemático no es fácilmente detectable, porque se producen siempre en una misma dirección, lo podemos identificar cuando usamos otros aparatos u otros métodos de medición. Así podemos cometer errores sistemáticos de medición cuando:

*el instrumento está mal calibrado (nuestro ejemplo)

*fallas en el aparato de medición (balanza mal construida, milímetros más grandes o chicos )

*operador con poca o nada de experiencia en las mediciones (mala ubicación del ojo para mirar es decir error de paralaje)

*influencia del ambiente (aumento de la temperatura)

Una vez conocidos es posible eliminarlos.

CASUALES O ACCIDENTALES: Son aquellos que se cometen en forma azarosa, es decir, no podemos predecir cuales son las causas y corregirlas. Los valores de las magnitudes medidas, se cometen por exceso o por defecto. Admiten por lo tanto, para una cantidad grande de medidas un tratamiento estadístico a diferencia de los anteriores. Algunos ejemplos de estos son:

*variaciones de las condiciones externas en forma accidental (variación de la tensión domiciliaria)

*error en la apreciación del instrumento (no se estima correctamente la división de la escala con la que se esta midiendo)

*limitaciones impuesta por el propio objeto(superficie rugosa)

2.2.3.- ACOTACIóN DE ERRORES EN UNA SOLA MEDICIóN

En el caso de efectuar una sola medición podemos determinar:

Error absoluto(E): Es la diferencia entre el valor verdadero(V) y el valor medido(V_m). Pero nosotros sabemos que por mas exacto que sea el instrumento, por más experimentados que sea el operador, y aún condicionando otras circunstancias, el valor verdadero de una magnitud física no existe, Por lo que el error absoluto no pasa de ser una definición teórica que podemos estimar con el error de apreciación

E = V_v - V_m

Error de apreciación(E_a): es la menor lectura que puede efectuarse con el instrumento. Por ejemplo,

si medimos con una regla milimetrada, el E_a = 1 mm = 0,1 cm = 10^-3 m

si medimos con una regla en centímetro, el E_a = 1cm = 0,1 dm = 10^-2 m

Error de estimación(E_e) : Un operador podría considerar que si está midiendo con una regla milimetrada puede "ver" hasta la mitad o 1/2 de la menor apreciación del instrumento, es decir 0,5 mm. En este caso el error cometido en la medición recibe el nombre de error de estimación. Es decir, es la menor medida que un operador puede estimar con un determinado instrumento de medición.

I3.- ¿Cuánto cree que puede estimar como menor valor de medida:

•      en una regla milimetrada

•      en la balanza del verdulero

•      en tu reloj

•      en la cinta métrica

•      en el contador de kilómetros de un auto

•      en el velocímetro de una moto

Sucede que podemos medir el largo de nuestra mesa de trabajo y el ancho del aula con una regla milimetrada. El error que se comete en ambos casos no produce la misma incidencia en el valor final. Es decir que un error de 0,5 mm no tiene la misma relevancia en ambos casos considerados. Para determinar la precisión o calidad con la que se efectúa la medición, se calcula el:

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor medido.

E_a

E_r = �

V_m

Calcula el error relativo para los casos mencionados, compara los resultados y elabora una conclusión.

Y para poder independizar el error cometido de la medida y poder informar el resultado con precisión, se calcula también el:

Error porcentual(E_%): Es el error relativo multiplicado por cien (100)

E_% = E_r . 100

Determina el error porcentual en las mediciones efectuadas anteriormente.

El error porcentual expresa que por cada 100 unidades medidas se comete E_r de error.

I4 ¿Qué expresa tu error porcentual calculado?. Compara los dos casos .

2.2.4.- ACOTACIóN DE ERRORES PARA varias mediciones

El problema que se nos plantea ahora es cómo informamos del resultado de nuestras mediciones, si disponemos de una gran cantidad de datos o valores medidos. Supusimos que los errores accidentales permiten un tratamiento estadístico.

El mejor valor

El primer problema que debemos enfrentar es cuál es la mejor medida. Para ello calculamos el valor promedio de los V_mi valores medidos:

V_m = S V_mi / m

La justificación de porque hemos propuesto el promedio como el mejor valor, es que al considerar que los errores accidentales son azarosos, el error cometido en cada medición es

E_i = V_mi - V_m

Por lo que las desviaciones por exceso o defecto se compensan, es decir:

S E_i = S (V_i - V_m ) = 0

de donde despejando V_m , resulta la expresión dada inicialmente en este apartado.

Podemos ahora completar la tabla inicialmente planteada. Es importante tener en cuenta que los valores obtenidos resultan de que un sólo observador efectúe las mismas mediciones, con el mismo instrumento y bajo las mismas condiciones de replicabilidad ( no de reproductividad).

Error cuadrático medio

Concluimos que la determinación del mejor valor para la magnitud que estamos midiendo es el promedio matemático de las V_mi medidas realizadas. El siguiente problema ha resolver es cómo informamos de las incertezas o desviaciones cometidas en el proceso de medición. Para ello vamos a calcular el error del promedio. Con ello queremos acotarlo en función de las mediciones realizadas.

El error cuadrático medio de cada medición es:

Observamos que hemos obtenido una expresión que nos informa del error promedio de cada medición, que aunque aumente el número de ellas, tanto el numerador como el denominador, están afectados proporcionalmente, por lo que resulta independiente del número de mediciones realizadas. Por otro lado, s nos da la calidad o precisión de la medición realizada, como consecuencia de la construcción de su expresión. Si su valor es grande, las mediciones efectuadas se desvían bastante del V_m , caso contrario sucede con un valor más pequeño.

Error cuadrático medio del promedio

Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio, para ello calculamos el error cuadrático medio del promedio:

Observemos que a medida que aumente m, E disminuirá, es decir podemos acotar el mejor valor. Esta última expresión nos da un intervalo de incerteza de nuestra medición. Por cálculos que no desarrollaremos en este breve trabajo, la certeza de encontrar el valor verdadero en el intervalo mencionado, es de un 63,8%.

Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de medición como

V = V_m � E

2.2.5.- PROPAGACIóN DE ERRORES

En muchos casos podrá planteársenos el problema de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a través de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por sólo poseer una expresión matemática a través de la cual se la define cuantitativamente. Tal es el caso del volumen de un cuerpo q través de las longitudes de sus aristas, o el caudal de un río a través del volumen por minuto de agua que circula, etc.

Reflexionando podemos concluir que el V_m de la medición indirecta dependerá de los valores promedios o mejores valores de las magnitudes que se miden en forma directa.

Para facilitar el proceso de acotación de los errores ejemplificaremos con:

a) Si V = A + B entonces E_V = E_A + E_B

b) Si V = A . B entonces E_RV = E_RA �E_RB

c) Si V = A/ B entonces E_RV = E_RA + E_RB

d) Si V = Aⁿ �entonces E_RV = n E_RA

Ocurre que al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas con el mismo número de cifras significativas. En este caso, se tomará como criterio determinar el orden del error de la magnitud indirecta como aquella del orden de la menor número de cifras significativas. Para ello se realizará el redondeo correspondiente.

2.2.6.- Relación entre magnitudes medidas: correlación de valores

Los hechos de la Naturaleza se nos presenta como un gran interrogante. Los físicos, químicos, geólogos, biólogos, etc., pretendemos explicar esos hechos y para ello apelamos a medir magnitudes cuyas relaciones queremos descubrir. Esta postura acerca de cómo es el trabajo del científico, es una más entre otras que actualmente son aceptadas por la Filosofía y Epistemología de la Ciencia.

Después de recoger los datos, los ordenamos en una tabla y luego los graficamos. Podemos indagar aquí cuál es la posible relación entre las mismas. Una vez detectada la posible relación matemática, podemos enunciar la ley física y las condiciones bajo las cuales ésta se verifica. Llegamos así ha descubrir una regularidad y podemos predecir resultados con la nueva ley. Reflexionamos acerca de los valores medidos y sabemos que ellos poseen errores propios del proceso de medición, por lo que acotarlos debido a la gran cantidad de datos disponibles, nos brindaría información acerca de la pertinencia o no de la ley encontrada.

2.2.7.- MÉTODO DE LOS CUADRADOS MíNIMOS

El proceso de acotación mencionado en el párrafo anterior, comienza con la compensación de los errores que se cometen en cada medición disponible. Otra consideración que podemos realizar es que las magnitudes puedan estar relacionadas en forma lineal. Con estas dos condiciones podemos suponer que:

• la relación entre las magnitudes X e Y medidas están relacionadas con la expresión:

Y = a X + b

•      la expresión de a y b está dada por:

y para una recta que pasa por el origen, la expresión es

Y = a X

Donde

Veamos un ejemplo.

En el laboratorio se efectuaron mediciones de la tensión de una fuente con un voltímetro de apreciación E_a = ,05 V y la intensidad de corriente que circulaba por un circuito con un amperímetro de 0,02 A de apreciación, obteniéndose los siguientes valores:

V(Volt)	I(A)
0,80	0,20
1,30	0,30
1,70	0,40
2,20	0,50
2,65	0,60
3,10	0,70
3,45	0,80
3,85	0,90

El problema siguiente fue determinar la expresión que relaciona tales magnitudes, partiendo del hecho de que ésta existe.

Si representamos en los ejes coordenados Volt vs Intensidad de corriente en Ampere, obtenemos:

V(volt)

I (ampere)

Observamos que la distribución de los puntos es casi lineal, por lo que suponemos una relación:

V = k I ya que para V = 0, no circula corriente por el conductor.

K = 4,49 V/A

Por lo que V = 4,49*I [ V]

Hemos encontrado la expresión matemática conocida como Ley de Ohm. Todos los conductores que obedecen esta ley, de llaman conductores Ohmicos.

I5 ¿Podrías graficar la recta cuya expresión fue obtenida?

Seguramente estas observando, que no todos los puntos pertenecen a la recta cuya expresión encontramos y la cual fue dibujada. Recordemos que partimos de la condición que considera que el error cometido en las abscisas es mínimo y por lo tanto despreciable frente al error cometido con los valores de las ordenada.

En general, el error medio cuadrático cometido en el cálculo de los parámetros de la recta vienen dados por:

en el caso más general:

en el caso en que la recta pasa por el origen:

I6 Calcula el error en el parámetro a en nuestro ejemplo. Luego, expresa el valor con su respectivo error.

En general, no sólo existen relaciones lineales entre dos variables, sino que podemos encontrar funciones cuadráticas, de proporcionalidad inversa, y otras, más complicadas que escapan a nuestra capacidad de trabajo. A continuación, se grafican dos casos, se efectúa el cambio de variable más adecuado y se gráfica la nueva expresión. De esta manera se confirma la relación funcional primeramente propuesta.

y = k x²

Cambio de variable

u = x²

y = k u y = k u

Grafiquemos

^{A continuación en la próxima página presentamos un mapa conceptual del proceso de medición.}

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