Teoremas de continuidad

CONTINUIDAD

1.-     Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:

x+4 │ e^x si x>0

a) f(x) = ───────── f) f(x) = │ 1 ¡Error!Marcador no definido. 1¡Error!Marcador no definido. si x=0

x²+3x-4 │ 1+x+ ─ x² si x<0

3 1-x ¡Error!Marcador no definido. 2¡Error!Marcador no definido.

b) f(x) = ────── g) f(x) = ─────

2+2^{¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x} 1-│x│

1

c) f(x) = ───────── h) f(x) = ¡Error!Marcador no definido.│ 2x si xeQ¡Error!Marcador no definido.

1-e^{¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x} ¡Error!Marcador no definido.│ 3x di xeI¡Error!Marcador no definido.

1 e^{¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x}

d) f(x) = ─────── i) f(x) = ─────────

 1-cos x 1+e^{¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x}

sen x

e) f(x) = x-E(x) j) f(x) = ───────

│3x│

2.-     Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

e^x _______ 1+x

a) f(x) = ────── - ¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1+sen²x c) f(x) = Ln ─────

1-¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.x 1-2x

___ _____

b) f(x) = sen 1/x + ¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1-x b) f(x) = ¡Error!Marcador no definido.Ö¡Error!Marcador no definido.1-│x│

3.-     Estudiar la continuidad de las funciones

2 - cos x (1+x)ⁿ-1

a) f(x)= ───────────── en R b) f(x) = ────────── en x=0.

4 + 3 sen x x

4.-     Calcular c para que la función sea continua en todo el eje real.

5.-     Determinar a y b para que la función sea continua en todo R.

6.-     La suma de los funciones discontinuas en un punto, ¿ es siempre discontinua en ese punto ?. Compruébalo con las funciones:

¡Error!Marcador no definido. f(x) =¡Error!Marcador no definido. │ 0 si x>0 ¡Error!Marcador no definido.g(x) =¡Error!Marcador no definido. │ -1 si x>0

│ -1 si x£0 │ 0 si x£0

7.-     La función tiene una discontinuidad evitable en x=2. Hállese  m , n , y todas sus discontinuidades.

8.-     Hallar que valores deben tomar los números a y b, para que la función , tenga en los puntos de abcisas x=-1 y x=3, discontinuidades evitables.

9.-     La función no está definida en x = a. ¿ Qué valor ha de tener f(a) para que sea continua ?

10.-  Demostrar que es continua en x=0. ¿ Lo es en todo R ?

11.-  Dar un ejemplo de función que no sea continua en ningún punto pero que su valor absoluto si lo sea.

12.-  Extensión de f. Demostrar que si f:[a,b]--->R es continua en [a,b], entonces existe una función g:: R--->R que es continua en R y que verifica f(x)=g(x) en [a,b]. ¿ Se puede concluir lo mismo si se sustituye [a,b] por (a,b) ? ¿ Y si suponemos que f es acotada ?

Teoremas de continuidad ( Bolzano, signos,....)TEOREMAS DE CONTINUIDAD

13.-  Demostrar que la ecuación xⁿ - a = 0 con a>0 y nÎN, posee al menos una raíz real.

14.-  Explicar apoyándose en el teorema de Bolzano, porque una función polinomica de grado impar, tiene siempre al menos una raíz real.

15.-  Demostrar que la ecuación x³+x²-7x+1=0, tiene al menos una solución comprendida entre 0 y 1. Calcular dicha raíz con una cifra decimal exacta.

16.-  Demostrar que la ecuación x³-3x+1=0 posee al menos una raíz real y calcularla con dos cifras decimales exactas.

17.-  Empleando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación 2x⁴-14x²+14x1=0, tiene cuatro raíces reales.

18.-  Demostrar que la ecuación x + sen x = 1 posee al menos una raíz real.

19.-  Probar que la función f(x) = 2x²-cos x toma el valor 1.

20.-  Hállese la menor solución positiva de la ecuación tag x = x con dos cifras decimales exactas.

21.-  Probar que existe xeR tal que cos x + = 4^{2×sen x}.

22.-  Demostrar que existe xÎR tal que .

23.-  Probar que existe xeR tal que 1 + senx + sen²x + sen³x = sen⁴x.

24.-  ¿ Es aplicable el teorema de Bolzano a en [0,1] ?

25.-  Probar que si f:R--->R, es una función continua que solo toma valores racionales, entonces es constante.

26.-  Demostrar que si una función es continua en el intervalo [a,b] y f(x)=0 para xeQ, entonces f(x)=0 para xÎ [a,b].

27.-  Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Probar que en estas condiciones, existe ce[a,b] tal que f(c) = g(c). Interpretar geométricamente.

28.-  Demostrar que si f : [0,1] ----> [0,1] es continua y la función g(x), continua en [0,1],  es tal que g(0) = 0 y g(1) = 1, entonces existe ce[0,1] tal que f(c) = g(c). Interpretar gráficamente.

29.-  Sea f : [0,1]---->[0,1] continua, demostrar que existe cÎ[0,1] tal que f(c)=c. Idem f(c)=1-c.

OTROS PROBLEMAS

30.-  Representar gráficamente la función f(x) definida en el intervalo [-2,2]

f(x) = -x para -2 £ x < 0

f(0) = 0

f(x) = 1 - x para 0 < x £ 2

31.-  Hallar el campo de definición de las siguientes funciones reales de variable real definidas por las siguientes fórmulas :

a) b)

c) d)

e) f)

g)

32.-  Estudiar la continuidad de :

1 - (1 + x)⁴ x

f(x) = ────────────── g(x) = ─────

x │x│

33.-  Estudiar la discontinuidad de la función :

x - 1

f(x) = ──────── para x = 1

x⁴ - 1

34.-  Estudiar la continuidad de la función : f(x) = |x - 2 | en x = 2

35.-  Estudiar para qué valores de x es discontinua la función :

2x + 1

f(x) = ─────────────

x² - 4x + 3

36.-  Estudiar la continuidad de las siguientes funciones :

x² - 4

a) f(x) = E(x) b) f(x) = ─────────

│x - 2│

2x² - x - 3 2x² -6x + 4

c) f(x) = ───────────── d) f(x) = ─────────────

4x² - x - 5 3x² - 5x - 2

37.-  Hallar m para que la siguiente función sea continua en x = 0 .

Teoremas sobre derivabilidad

1.-    Dadas las funciones f(x) = x + 1, g(x) = x×sen x, h(x) = | x |, estudia su derivabilidad en el origen.

2.-    Dada la función f: R---->R definida por f(x) = (x - 1) | x - 1 | , estudia si es continua y si tiene deriv­ada en x= 0 y en x = 1. Estudia también cuántas derivadas sucesivas admite en x = 0 y en x = 1.

3.-    Estudiar la derivabilidad de : f(x) = x × |x - 2 | g(x) = e^{| x |} .

4.-    Estudiar la continuidad y derivabilidad de las fun­ciones f y g de R en R definidas de la forma :

g(x) = x × | x |

5.-    Calcula las derivadas de las funciones:

6.-    Hallar los máximos y mínimos locales de la función

7.-    Hallar los máximos y mínimos de la función :

8.-    Hallar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento de

9.-    a)Dominio y asíntotas de la función

b) Crecimiento y concavidad de la función : f(x) = x²× e ^-x

10.-  Se considera la función f(x) = x × | x + 2 |  en el intervalo [-3,1]. Se pide:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad

b) Determinar los máximos y los mínimos locales y absolutos

c) ¿ Posee f algún punto de tangente horizontal ? ¿ Tiene esto algo que ver con el teorema de Rolle ?

11.-  Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (2,3).

12.-  Encontrar un punto del intervalo [0,1] donde la tangente a la curva y = 1 + x + x² es paralela al eje de abcisas.

13.-  ¿ Se puede aplicar el teorema de Rolle a f(x) = x² × |x - 1 | en [-1,1] ? Determina, en caso afirmativo, los puntos vaticinados en dicho teorema. ¿ Existe en el intervalo (-1,1) algún punto con tangente horizontal ?

14.-  Considérese la ecuación e^x = 1 + x, y la función f(x) = e^x - 1 - x

a) Hallar los números reales c que cumplen f'(c)=0.

b) Hallar f(0). Después, usando el apartado a) y el teorema de Rolle, razónese que ningún numero positivo k es solución de la ecuación dada.

c) Idem que ningún numero negativo es solución. ¿ Cuales son las soluciones de dicha ecuación ?

15.-  Obtener un número "c" que cumpla las condiciones del teorema de Cauchy en el intervalo [2,3] para las funciones f(x) = x² + x + 1, g(x) = x² - x + 1.

16.-           Dada la parábola de ecuación y = x², halla las coordenadas de un punto de la curva cuya tangente en él sea paralela a la cuerda de extremos (1,1) y (2,4). ¿ Tiene esto algo que ver con algún teorema conocido ?

17.-  ¿ Se puede aplicar el teorema del valor medio a la función en el intervalo [1,2] ?

En caso afirmativo, determina qué puntos cumplen los requisitos de dicho teorema.

18.-  Probar que no existe ningún valor real de "m" para el que la función : f(x) = x³ + x + m pueda tener dos raíces reales distintas en el intervalo [0,1].

19.-  Sea f:(a,b)----->R derivable. Supongamos que f'(x)=0 tiene k soluciones, ¿ qué se puede decir sobre el numero de soluciones de la ecuación f(x)=0.

a) Probar que el polinomio x¹⁷+x¹⁵+x¹³+1 solo tiene una raíz.

b) Probar que la ecuación log x + x² = 0 tiene una única solución.

c) Determinar el numero de soluciones de la ecuación 3 log x - x = 0.

d) Determinar el numero de raíces reales del polinomio x⁵ - 5x - 1.

e) ¿ Para que valores de a tiene la ecuación x³ - 3x + a = 0 una solución en el intervalo (-1,1) ?

20.-  La función cumple que f(-2) = f(1). Comprobar que para ningún numero c se cumple que f'(c)= 0. ¿Cómo se explica este hecho contrario al teorema de Rolle?

21.-  Dada la función f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), hállense tres intervalos I₁, I₂, I₃ tales que cada uno de ellos contenga una raíz de la ecuación f'(x)=0.

22.-  Idem para la función f(x) = x⁴-6x³+11x²-6x.

23.-  Demostrar que 1/9< < 1/8. Calcular con dos decimales exactos.

24.-  Razonar si puede aplicarse el teorema del valor medio a la función

en el intervalo [-2,0], hallando, en caso afirmativo, los puntos referidos.

25.-  Probar que cumple las hipótesis del teorema del v. m. en [0,2]. Calcula el valor de c.

26.-  Hallar el ángulo con que la curva y = Lx corta al eje OX.

27.-  Demostrar que la ecuación f'(x) = 0 posee dos raíces reales distintas, siendo f(x) = x×(x² - 9), sin calcular la derivada.

28.-  Sea f(x) = 2 + x³(x - 2)². Prueba que la ecuación f'(x) = 0 posee al menos una raíz en el intervalo (0,2) sin calcular la derivada.

29.-  ¿ Dónde se encuentra el error en la siguiente aplicación de la Regla de L'Hopital ?

30.-           Aplicación del teorema de L'Hopital. (LIMITES.COL) Calculo de limites por L'Hopital

Otros problemas

31.-           Estudiar el campo de existencia, asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, y concavidad de la función y =L( x² - 3x + 2 ). Represéntala.

32.-           Hallar la derivada n-ésima de la función y = (1 + e^x)².

33.-           Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de f(x) = e^2x. (COU I)

34.-  Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de la función f(x) = e^x+1. (COU I)