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Problemas Matematicos I

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Problemas de Matemática, traducidos, editados y diagramados por su autor.

Agregado: 19 de AGOSTO de 2009 (Por Aldo Gil Crisóstomo) | Palabras: 1947 | Votar! |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
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    Autor: Aldo Gil Crisóstomo (lococrux@hotmail.com)

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    Olimpiadas Internacionales

    Problemas Resueltos N 1

    2006

    Problema 1

    Encontrar el menor número positivo divisible por 999 y que no tenga el dígito 9.

    Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

    Solución

    La suma de las cifras agrupadas de 3 en 3 debe ser múltiplo de 999. Para que sea el múltiplo más pequeño, la suma de las cifras debe ser 999. Para conseguir una suma 999 con dos cifras que no incluyan ningún nueve, y una de ellas mínima, tienen que ser 111 + 888, pues 888 es el máximo número de tres cifras que no incluye el 9. Por tanto, el número pedido es: 111888 = 112*999

    p^   tf_    r2 _(p3 +q3 +r3) _ a3 -3ab+3c _ a3    3ab
    qr    pr    pq              pqr                       c               ce

    Con lo que nos queda,

    4ab    a3 cc

    Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

    Problema 3

    ¿Para que dígitos x e/la siguiente ecuación: xxyy=xx2+yy2 es válida?

    Problema 2

    Los lados de un triángulo son proporcionales a las raíces de la ecuación cúbica: x3-ax2+bx-c=0. Encontrar la suma de los cosenos de los ángulos del triángulo.

    Xl = 8,  x2=15/2.

    Evidentemente solo nos vale el 8, y te­nemos que: 8833 = 882 + 332 Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

    Problema 4

    A ver como nos va con esta: ALPHA + BETA + GAMMA = OMEGA Donde OMEGA es el mayor posible.

    ALPHA

    Solución

    Sean p, q y r las raíces de la ecuación.

    Las relaciones de Cardano-Vieta nos dan:

    p + q + r = a

    pq + pr + qr = b

    pqr = c

    Por otra parte, llamando P, Q y R a los

    ángulos del triángulo,

    cos(P) = (q2 + r2 - p2)/(2qr)

    cos(Q) = (p2 + r2 - q2)/(2pr)

    cos(R) = (p2 + q2 - r2)/(2pq)

    Y la suma de los tres,

    c_ 1 /Q    r    p    r    p    r    p2     q2     r2 -.

    -> (ii-------------------- 1------ 1------- 1------------------- 1--------- 1------- )

    2   r    q     r     p    q    q     qr     pr    pq

    Tenemos que:

    (p + q + rf = p2 + q2 + r2 + 2(pq + pr

    + qr)  => p2 + q2 + r2 = a2 - 2b

    _________

    De otro lado, despejando x3, sustituyen­do por p, q y r y sumando, p3 + q3 + r3 = a(p2 + q2 + r2) - b(p + r) + 3c = a3 - 2ab - ab +3c = a3 - 3ab + 3c Por otra parte,

    a3 = (p + q + rf = p3 + q3 + r3 + 3(p2q + p2r + q2P + q2r + f2P+f¿q) + 6pqr

    p*> + plr + q2P + q2r +   2P +   2c, = (g3 _

    (a3 - 3ab + 3c) - 6c)/3 = ab - 3c Dividiendo por c = pqr



    ab

    3

    p p q q r r

    r q

    r

    C

    p q p

    De otro lado,

    Solución

    HOOx + lly = 121íX2 + y2) => lOOx +

    y = ll(x2 + y2)

    Para que lOOx + y sea múltiplo de 11, debe ser x + y = 11. Pero entonces lOOx + y = xOy = 99x + 11 = ll(9x + 1) con lo que queda

    Solución

    Tenemos que 3A = A (mod 10) => A =

    0,5

    Como A es la inicial de ALPHA, debe ser

    distinto de 0, por lo que A = 5. Queda

    BETA

    52305 52345 58305

    8945 8905 2945

    15665 15665 15665

     

    76915 76915 76915

    ________

    EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD


    9x + 1 = x2 + y2

    9x + 1 = x2 + (11-xf

    2x2-31x+120 = O

    5LPH5 + BET5 + G5MM5 = 0MEG5. A partir de aquí, obtengo ocho soluciones, 4 con OMEGA = 76915 y 4 con OMEGA = 80625. Son



    58345

    2905

    15665

    76915

    51945

    3675

    25005

    80625

    51975

    3645

    25005

    80625

    53945

    1675

    25005

    80625

    53975

    1645

    25005

    80625


    cuentren será la solución. Es en 20+20, es decir 20 años y dígitos sumando 20, ya tenemos 1 y 9, en la década de los 50 Solución: Juan José Bienzobas - Barcelona (España)


    solo el 55 suma los otros 10 que necesitamos. Solución 1955



    Como se ve, los valores de L y B son intercambiables, así como los de H y T. Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

    Problema 5

    En su cumpleaños del año 1975, John alcanza una edad que es igual a la suma de los

    dígitos del año en que nació. ¿En que año nació?


    Solución 1

    Voy a suponer que John nació después

    de 1900. Luego el año de su nacimiento

    tiene

    aspecto de l9ab, es decir, el año es

    1000 + 900 + 10a + b

    Luego su edad es 1975 - (1000 + 900 +

    10a + b) = 75 - 10a - b

    La suma de los dígitos del año en que

    nació es: 1 + 9 + a + >= 10 + a + >

    Como la edad es igual a la suma de los

    dígitos: 75 - 10a - b = 10 + a + b

    65 - 11a - 2b = 0

    b = (65 - 11a)/2

    Si a = 1 => b = 54/2 = 27 Absurdo,

    porque b es de una cifra

    Si a = 2 => b = (65 -22)/2 = 43/2 Ab-

    Solución: Elisenda Font - Barcelona (España)

    Solución 2

    He tenido en cuenta que 1+9=10, luego
    el año de nacimiento es anterior a 1965.
    la década de los 50 varia entre 1950 que
    _______

    EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD


    surdo

    Si a = 3 => b = (65 -33)/2 = 32/2 = 16 Absurdo

    Si a = 4 => b = (65 - 44)/2 = 21/2 Absurdo

    Si a = 5 => b = (65 - 55)/2 = 10/2 = 5 Esto ya cumple, el año es 1955 y la edad (1975-1955) = 20, que coincide con la suma de las cifras.

    Si a>5 obtendríamos una b negativa, lo cual es absurdo, luego la solución es única.

    Tendría que repetirse para alguien nacido en el siglo XIX, pero a mi no me apetece buscar la edad de un centenario... o por lo menos vejete.

    suman 15 y años serían 25, y 1959 que suman 24 y años 16. Observamos que 15+25=40 y 24+16=40, donde se en-


    Problema 6

    Resolver esta interesante alfanumérica: 3*OÑE*OÑE=THREE

    Solución

    N = 6 => THR = 768, no N = 5 => THR = 675, no N = 4 => THR = 588, no N = 3 => THR = 507, no N = 2 => THR = 432, no b) E = 7. No puede ser, pues la penúltima cifra de (5/V7)2 es par, y al multiplicar por 3, nunca podría dar 7 la penúltima cifra del resultado. Por tanto, la única solución es

    3*OÑE*OÑE = THREE 3*180*180 = 97200

    THREE 3

    < -33333 = 182

    Por tanto, O = 1, T > 3. Para E tenemos que 3*E2 = E (mod 10) => E = 0, 2, 5, 7

    El 2 esta descartado, pues I/Vsería par, y por tanto WREEmúltiplo de 4, lo que es imposible si acaba en 22. El 5 también esta descartado, pues THREE sería múltiplo de 25 y no podría acabar en 55. Entonces, tenemos dos posibilidades: a) E = 0. Nos queda reducido a 3*1/V*1/V= THR 300 + 60*N + 3N2 = THR Pero N = 9 => THR = 1083, no N = 8 => THR= 972 => Si N = 7 => THR = 867, no Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña

    España

    Problema 7

    ¿Cual es el mayor y menor número de "viernes 13" de un mes cualquiera que pueden

    ocurrir en un año cualquiera?

    _______

    Pág. 4

    Solución



     


    Problema 10

    Un grupo de piratas se dispone a repartirse por partes iguales una cierta cantidad de monedas de oro. Al hacerlo advierten que la cantidad que les toca a cada uno es el mismo número de monedas original con sus cifras en orden invertido. Empieza una discusión en este momento a raíz de lo curioso de esta situación. La discusión deriva en furiosa pelea, y terminan muriendo varios piratas y cayendo al mar cientos de monedas de oro. Los piratas restantes deciden realizar nuevamente el reparto por partes iguales. Y otra vez el número de monedas que les toca a cada uno es el mismo número de monedas del total con sus cifras en orden invertido. ¿Cuántos piratas murieron? Fuente: Propuesto por: Emilio Martín (Alicante)

    Solución

    9 piratas se repartían 9801 monedas, tocando a 1089.

    Mueren 5 piratas, caen 1089 monedas al mar.

    Quedan 8712 monedas, para 4 piratas a 2178 monedas cada uno.

    Muy buen problema, y difícil la primera parte ya que no se piensa en probar el 9 como

    posible solución. Por cierto, les tocó el doble que al principio.

    Solución: Jesús Sanz


    Problema 8

    La bóveda de un Banco tiene N cerraduras que deben ser probadas simultáneamente para abrirla. Cinco ejecutivos tienen algunas de la llaves, de tal manera que cualquiera tres de ellos pueden abrir la bóveda, pero ningún par puede hacerlo. Determinar el menor valor de N.


    Problema 9

    Larry, Curly y Moe tienen una inusual combinación de edades. La suma de dos de las

    tres edades da una edad que es la inversa de la otra. Todas suman menos de 100

    años.

    a)   ¿Cuál es la suma de las tres edades?

    b)   Si Larry es el mas viejo de los tres, ¿Qué edad tiene el menor?

    _______



    Primero hay que diferenciar dos tipos de

    años, normales y bisiestos.

    Años normales:

    Días de los meses:

    (31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31)

    en aritmética modular 7:

    (3,0,3,2,3,2,3,3,2,3,2,3)

    Sumatoria modular 7:

    (0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5)

    El número que más se repite es el 3 que

    se repite 3 veces por lo que en un año

    normal habrá como mucho 3 viernes 13

    Los números que menos se repiten son el

    1,2, y el 4, que se repiten 1 vez por lo

    Solución: Tny -

    Solución

    A cualquier par que elija le tiene que faltar

    una llave, que la tiene cualquiera de los otros

    tres. Combinaciones de 2 tomadas entre 5

    son 10, necesito 10 llaves.

    1 2 3 llave A 1 2 4 llave B


    Solución: Dany


    que en un año normal habrá como mínimo 1 viernes 13. Años Bisiestos: Sumatoria modular: (0,3,4,0,2,5,0,3,6,1,4,6) El número que más se repite es el 0 que se repite 3 veces, por lo que en un año bisiesto habrá como mucho 3 viernes 13 Los números que menos se repiten son el 1,2, 5, que se repiten 1 vez, por lo que en un año bisiesto habrá como mínimo 1 viernes 13

    En un año cualquiera el mínimo de viernes 13 es 1, y el máximo 3.

    1 2 5 llave C 1 3 4 llave D



    1  3 5 llave E 1 4 5 llave F

    2  3 4 llave G 2 3 5 llave H 2 4 5 llave I 3 4 5 llave J Cada ejecutivo tiene 6 llaves.


    Solución

    Larry=10a+b

    Curly=10c+d

    Moe=10e+f

    10a+b+10c+d=10f+e

    10a+b+10e+f=10d+c

    10e+f+10c+d=10b+a

    Sumando las tres ecuaciones:

    19a+19f+19c=8b+8d+8e

    19(a+f+c)=8(b+d+e)

    única posibilidad a+f+c=8 y b+d+e=19

    Solución: Pablo Adrián Sussi


    La suma de las 3 edades da entonces

    8.10+19=99

    1+2+5=8

    8+7+4=19

    Larry tiene entonces 54, el menor 18 y el

    otro 27, comprobamos

    18+27=45 inverso 54

    18+54=72 inverso 27

    27+54=81 inverso 18

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