Trigonometría plana, Funciones trigonométricas, Igualdades trigonométricas, Funciones inversas, El triángulo general, Trigonometría esférica, historia, Quién era Hiparco de Nicea, quién era Tolomeo, Quién era Euler, Quién era John Napier, Cómo Eratóstenes
Índice de contenidos.
Temas Página
Trigonometría 3
Trigonometría
plana 4
Funciones
trigonométricas 6
Igualdades
trigonométricas 9
Funciones
inversas 11
El
triángulo general 11
Trigonometría
esférica 12
Historia 14
Quién
era Hiparco de Nicea 17
Quién
era Tolomeo 17
Quién
era Euler 18
Quién
era John Napier 19
Cómo
Eratóstenes midió
el
radio de la tierra 20
Quién
era Eratóstenes 21
Distancia
a las estrellas 22
Quién
era Bessel 23
Qué
es Pi 24
Aplicaciones
de Pi 25
Historia
de Pi 27
Cómo
se presenta Pi 27
Pi
calculado a 10000 nº 28
Bibliografía
31
Autores
32
Trigonometría
Rama de las
matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de
triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas
de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría
plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría
esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la
superficie de una esfera.
Las primeras
aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una
distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia
que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la
trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las
ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como
el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
El concepto
trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un
ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB
(figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio
OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se
generan con un radio que
gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación
es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son
iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
Una unidad
de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia,
como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice
en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s
(AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de
manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s
= 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea
recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular
es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio
del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las
distintas unidades, se tiene que
1
ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado
se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en
60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza
la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad
se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de
segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura
rad o sin ningún símbolo. Por tanto,
Se
sobreentiende que el último valor es en radianes.
Un ángulo
trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el
ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula
s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en
grados, entonces
Funciones trigonométricas
Las
funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud
de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas
rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y
su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura
3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que
forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden
ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se
encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero
si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre
positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis
funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y
la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden
360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco
funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas
de las otras tres, es decir,
Si el punto
P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x
es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el
conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como
90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es
0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y
-180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no
puede ser igual a 0.
Como r es
siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían
entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier
valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o
igual que -1.
Como se ha
podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones
trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo
función del ángulo.
Si q es uno
de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones
de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se
explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de
los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje
x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r =
a/c, y así sucesivamente:
Los valores
numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener
con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que
q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2=
b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores
numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando
la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es
fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los
valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los
valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las
igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
Igualdades trigonométricas
Las
siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones
entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier
ángulo q, o pareja de ángulos q y f:
Utilizando
con reiteración una o más fórmulas del grupo V, conocidas como fórmulas de
reducción, es posible calcular el seno de q y el coseno de q, para cualquier
valor de q, en función del seno y del coseno de ángulos entre 0° y 90°.
Utilizando las fórmulas de los grupos I y II, se pueden calcular los valores de
la tangente, cotangente, secante y cosecante de q en función del seno y del coseno.
Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el coseno de q para
valores de q entre 0° y 90°. En la práctica, para evitar cálculos tediosos, se
suelen también tabular las otras cuatro funciones para los mismos valores de q.
Sin embargo, desde la popularización de las calculadoras electrónicas y los
ordenadores o computadoras, las tablas de funciones trigonométricas han caído
en desuso.
La variación
de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se pueden
representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en
estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir,
el valor de cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El
periodo de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o
2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180° o p
radianes.
Funciones inversas
La expresión
'y es el seno de q,' o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo
cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q =
sen-1y. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y
arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen
y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de q, puesto que sen
30° = sen 150 ° = sen (30° + 360°)…= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q
= 30° + n360° y q = 150° + n360°, para cualquier entero n positivo, negativo o
nulo. El valor 30° se toma como valor principal o fundamental del arcsen 1.
Para todas las funciones inversas, suele darse su valor principal. Hay
distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal del arcsen y,
arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ángulo
entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos:
El triángulo general
Entre las
diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar
distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven
tomando la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros
dos lados y los ángulos del triángulo. Una vez conocidos estos valores basta
con utilizar las fórmulas que se muestran a continuación.
Si A, B y C
son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos
respectivamente, es posible demostrar que
Las reglas
del coseno y de la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen
rotando las letras a, b, c y A, B, C.
Estas tres
relaciones son suficientes para resolver cualquier triángulo, esto es, calcular
los ángulos o lados desconocidos de un triángulo, dados: un lado y dos ángulos,
dos lados y su correspondiente ángulo, dos ángulos y un ángulo opuesto a uno de
ellos (que tiene dos posibles soluciones), o los tres lados.
Trigonometría
esférica
La
trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía,
estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de
circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo
esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados
a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo
esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de
circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo
central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres
elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana,
hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden
utilizar para calcular los elementos desconocidos.
La
trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección
estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos
astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se
utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la
posición de una estrella y otras magnitudes.
Ejemplo de problema:
Trigonometría
y cálculo de la altura de un edificio
Para hallar
la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de
observación a la base del edificio, D, y el ángulo q (theta) que se muestra en
el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la
tangente de q (H/D = tg q). Para calcular H se multiplica la tangente de q por
la distancia D (H = D tg q). El ángulo se puede calcular aproximadamente
señalando con un brazo la base del edificio y con el otro el tejado y estimando
si el ángulo es más o menos 15º, 30º, 45º, 60º o 75º. El ángulo se puede medir
con mayor exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha
con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del
transportador y se apunta con la base de éste hacia l tejado del edificio. El
ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.
Historia
La historia
de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto
y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no
empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el
astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver
triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los
lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta
tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor
de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo
Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico
sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo
incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas
con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que
1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de
cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla
para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao
para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría
fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que
Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.
Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era
una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo
rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos
valores para ésta en sus tablas.
A finales
del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función
seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y
las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas
fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos.
Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que
produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes
también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos
estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para
medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que
era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.
Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por
ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de
1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones.
Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura
transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como
ciencias matemáticas independientes.
El occidente
latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de
libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El
primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el
matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el
siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como
Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como
proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés
François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y
encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y
cos nq, en función de potencias de senq y cosq.
Los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John
Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También
encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas
proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos
oblicuos.
Casi exactamente
medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton
inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo
de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando
series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para
el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del
cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde
todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como
en las aplicadas.
Por último,
en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los
números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números
complejos.
Quién era Hiparco de
Nicea
Hiparco de
Nice fue astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en
Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus
investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado
científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció
gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros
astrónomos, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios .Sus cálculos del
año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen
de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó
un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y
longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas.
También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la
trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
Tolomeo,
Claudio fue un astrónomo y matemático
cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico
hasta el siglo XVI (véase Sistema de Tolomeo). También se reconocen sus
aportaciones en matemáticas, óptica y geografía. Posiblemente, Tolomeo nació en
Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que
realmente se sabe de él: ’Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ’Claudius’
significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de
que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo
también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios
en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y
relojes de sol. En su Tetrabiblon, aplicó la astronomía a la astrología y la
creación de horóscopos.
Quién era Euler.
Euler, Leonhard fue un matemático suizo, cuyos trabajos
más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de
estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad
de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.
En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del
profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado
catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de
matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia,
Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció
hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes
de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler
produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y
científicas.
En su
Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer
tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la
trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de
series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes
infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies
tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante
la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban
del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números
imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente
era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la
óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo
diferencial (1755), Instituciones del
cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
Napier o
Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo.
Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor
del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en
los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera
interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Napier es
más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en
Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y
naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que
los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les
denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el
primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones
decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para
realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per
virgulas libri duo (1617).
Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó
por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los
métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se
toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a
y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos
puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra
Lo difícil, por supuesto, era determinar el
ángulo a y la distancia.
Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad
del sur de Egipto llamada Siena. Allí
había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El
punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol
no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 /
50 de la circunferencia.
Utilizando probablemente el tiempo de viaje
de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello,
determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto,
el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan
las mediciones más modernas.
¿Quién era
Eratóstenes?
Fue
matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la
circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a
través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual
Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat,
Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene.
Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de
Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la
observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de
verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por
tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del
trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora
las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical.
Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de
cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra.
Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje
terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente
perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de
geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición
voluntaria.
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Monografías
