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Trabajo de cálculo.

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Práctica.

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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
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    1. Encuentre el volumen de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 5

    alrededor del el eje y

    V = π a b { F(x)2 - G(x)2 } Dx

    V = π 0 50 [(25 - √ y/2)2 ] Dy

    V = π 0 50 [(25 - y/2 ] Dy

    V = π [25y - y2/4 ]50 Dy

    V = 625 π u3

    2. Encuentre el volumen de la región limitada por f(x) = x2 + 1, alrededor de la recta x = 3

    h = Xi2 + 1

    ∆Xi = Dx

    rm = 3 - x

    a) V = 2 π a b (x) (f(x)) Dx

    V = 2 π 0 2 (3 - x) (x2 + 1) Dx

    V = 2 π a b (-x3 + 3x2 -x + 3) Dx

    V = 2 π [(-x4/4 + x3 -x2/2 + 3x)]2

    V = 16 π u3


    3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la región

    Limitada por las gráficas de y = x3 + x + 1, y = 1 y x = 1

    V = 2 π a b p(x)h(x)Dx

    V = 2 π 0 1 (2 - x ) (x3 + x +1 -1 )Dx

    V = 2 π 0 1 (-x4 + 2x3 -x2 + 2x ) Dx

    V = 2 π [-x5/5 + x4/2 -x3/3 +x2 ]10

    V = 2 π (-1/5 + -1/3 +1 )

    V = 29 π /15 u3

    4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de

    y = x2 +1 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 en torno al eje y

    Método de capas

    V = 2 π a b p(x)h(x)Dx

    V = 2 π 01 x(x2 +1)Dx

    V = 2 π [x4/4 + x2/2]1

    V = 3 π /2 u3


    5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada

    y = 1/ (x2 + 1)2 y el eje x ( x menor e igual a 1 y x mayor e igual a 0 )

    V = 2 π a b p(x)h(x)Dx

    V = 2 π 01 x /(x2 + 1)2 Dx

    V = [-π /x2 + 1 ]10

    V = π /2 u3

    6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por

    Y = x - x3 y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)

    V = 2 π a b p(x)h(x) Dx

    V = 2 π 0 1 x(x - x3) Dx

    V = 2 π 0 1 (-x4 +x2) Dx

    V = 2 π [-x5/5 + x3/3]

    V = 4 π /15 u3


    7. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el eje x la

    región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x + 9y =36 y los ejes coordenados.

    Y = ⅔ (9-x)

    V= 4π/9 0∫ [(9-x)] Dx

    V= 4π/9 [9x - ⅓x3]3

    V = 8 π u3

    8. Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la

    curva y = x, el eje y y la recta y = 3

    V = π 0∫ [y 2/3] Dy

    V = [3/5 y 5/3]3

    V = 3.74 u3


    9. Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las

    parábolas y = x , y = 8x

    V = π 0∫ [(8x - x4)] dx

    V = π [4x2 - 1/5 x5]2

    V = 48π / 5 u3

    10. Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y2 , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.

    V = π a b { F(x)2 - G(x)2 } Dx

    V = π -2 3 [(y + 6) 2 - (y2) 2 ] Dy

    V = π -2 3 (y2 + 12y + 36 - y4 ) Dy

    V = π [ ⅓y3+ 6y2 + 36y - 1/5 y5] -2 3

    V = 500 π / 3 u3


    11. Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x3 - x , el eje x al rotar y = 0

    V = π -1 1[(x3 - x )2 ] Dy

    V = 2π 0 1[x6 - 2x4 + x2 ] Dy

    V = 2π [1/7 x7 - 2/5 x5 + 1/3 x3]

    V = 16π /105 u3

    12. Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región

    Limitada por la curva (x - 1)2 = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3

    V = π 13 [(√ 20 - 4y + 1) - 1]2 Dx

    V = π 13 [ 20 - 4y ] Dx

    V = π [ 20y - 2y2 ]31

    V = 24π u3


    13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y2 = 8x y la

    ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y

    V = -4 4 4 π Dy - -4 4 Px2 Dy

    V = 2π 0 4 (4 - x2) Dy

    V = 2π 0 4 (4 - y4/64) Dy

    V = 2π [4y - y5/320]40

    V = 128π /5 u3

    14. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

    y = 4x - x2 y el eje x con respecto a la recta y = 6

    V = π 0 4 [62 - (6 - y)2 ] Dx

    V = π 0 4 (12y - y2) Dx

    V = π 0 4 (48x - 28x2 +8x3 -x4) Dx

    V = π [24x2 - 28x3/3 + 2x4 -x5/5]40

    V = 1408π /15 u3


    15. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

    y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto a esa recta (método de anillo)

    V = 8 (2) π 0 2 (2 - x ) (x)1/2 Dx

    V = 8 (2) π 0 2 (2x1/2 - x3/2) Dx

    V = 256π /15 u3

    16. Encontrar el Volumen engendrado al girar sobre el eje y, la región del primer cuadrante

    Situada por encima de la parábola y = x2 y por debajo de la parábola y = 2 - x2

    V = 4π 01 (x - x3) Dx

    V = 4π 0[ x2 - x4]1

    V = π u3


    17. Encontrar el volumen de un sólido de revolución engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva y = (x - 1)3, el eje x, y la recta x = 2

    V = 2π 12 x(x - 1)3Dx

    V = 2π 12 (x4 - 3x3 + 3x2 -x)Dx

    V = 2π [x5/5 - 3x4/4 + x3 - x2/2]21

    V = 9π/10

    18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = 4 - x2 , 4y = 4 - x2 al

    hacer rotar el eje x.

    V = π -22 [(4 - x2) 2 - (1 - x2 ) 2 ]Dx

    V = 2π 02 (16 - 8x2 + x4 - 1 + x2 + 1/16x4)Dx

    V = 2π [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2

    V = 32π u3


    18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = x2 , y2 = 8x al

    hacer rotar el eje x.

    V = π -22 [(4 - x2) 2 - (1 - x2 ) 2 ]Dx

    V = 2π 02 (16 - 8x2 + x4 - 1 + x2 + 1/16x4)Dx

    V = 2π [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2

    V = 32π u3

    20.. Encontrar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada

    Por la parábola y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje x

    V = π a b y2 Dx

    V = π 0 2 8x Dx

    V = 4π [x2]20

    V = 16 π u3


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