INTRO.
EST. DE LAS PROGRESIONES
Las progresiones constituyen el
ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia
de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido
aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.
El estudio de las progresiones
aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de
estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en
productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una
potencia de exponente natural.
Name=1;
HotwordStyle=BookDefault; El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras
ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos
documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de
nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático
concreto.
Es conocido el
problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un
determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600
a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés
compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
En el libro IX
de Los
Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la
actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati ,
diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.
SUCESIONES
Se entenderá por sucesión
una colección de números dispuestos uno a continuación de otro.
Sirvan de ejemplo:
b) -1, 3, 7, 11, 15...
c) 3, 6, 12, 24, 48...
En el primero no es
posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique
la relación entre los términos). En el segundo, a 15 le seguirían 19, 23, 27...
(cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al
término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término es el doble del
anterior).
Cuando se habla de
una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an
- 2 , an - 1 , an , ... donde los subíndices determinan el lugar que cada término
ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de
escribir todos los números.
Es también frecuente
encontrar una sucesión simbolizada por (an)nN, o simplemente (an).
Término general de una sucesión
El término
general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor
de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la
misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.
De entre los muchos
ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:
Ejercicio: determinación de
términos de una sucesión
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Resolución:
‚ Escribir los seis primeros términos de la
sucesión an = 3 · 2n
- 1
Resolución:
a1 = 3 · 21
- 1 =
3 · 1 = 3 a4 = 3 · 23 = 24
a2 = 3 · 2 = 6 a5 = 3 · 24 = 48
a3 = 3 · 22 = 12 a6 = 3 · 25 = 96
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La obtención del
término general de una sucesión puede entrañar una notable dificultad. No
obstante, se estudiarán a continuación dos clases de sucesiones en las que el
hallazgo del término general es bastante sencillo.
PROGRESIONES
ARITMÉTICAS
Una progresión
aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene
sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la
letra d .
Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que:
an = an
- 1 +
d
Ejercicio: cómo reconocer una
progresión aritmética
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Para asegurarse de
que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la
diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta
comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.
¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una
progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?
Resolución:
· Se determina si la diferencia entre cada dos
términos consecutivos es la misma:
5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ...
Es una progresión
aritmética de diferencia d = -2.
Resolución:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Término general de una
progresión aritmética
La fórmula del
término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d
Nótese que en todos
los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:
- La primera es
siempre a1
- La segunda es el
producto (n
- 1) d .
an = a1 + (n - 1) d
· Si la diferencia de una progresión aritmética
es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el
anterior.
· Si la diferencia de una progresión aritmética
es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos
iguales.
· Si la diferencia de una progresión aritmética
es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que
el anterior.
Ejercicio: cálculo del término
general de una progresión aritmética
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Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su
término general?
Resolución:
Se trata de una
progresión aritmética de diferencia d = 2 y primer término a1 = 1. El término general es, por tanto:
an = 1 + (n - 1) · 2 = 2n-1
‚ Calcular a qué altura sobre el suelo se
encuentra una persona que vive en un 6.o piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen
una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de
2,8 m.
Resolución:
· Es claro que si se considera la sucesión de las
alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es
constante e igual a 2,8 m.
Así pues, se está en
el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el
primer piso) y la diferencia es 2,8.
· El problema se resuelve calculando el término
6.o:
an = 4 + (n - 1) · 2,8
a6 = 4 + (6 - 1) · 2,8 = 18
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Términos equidistantes de una
progresión aritmética
El interés de las
progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general. Estudiando
más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden
deducir propiedades de enorme interés:
Name=1;
HotwordStyle=BookDefault; Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
En cada uno de estos
tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de términos, de forma
que la suma de los subíndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los
términos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados
coinciden.
Monografías
