Consideraciones energéticas

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Introducción. Trabajo. Trabajo conservativo. Potencia. Energía. Conceptos previos. Energía cinética. Potencial. Gravitatoria en la superficie terrestre. Gravitatoria general. Elástica. Electrostática. Conservación de la energía. Rozamiento. Impulso. Gradiente.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 2616 | Votar |

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Consideraciones energéticas

Introducción

Los conceptos de trabajo y energía son de gran importancia en física, y también son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea física, por lo que habrá que tratar la intuición con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que intervienen el trabajo y la energía.

Trabajo

Se define trabajo como

$\begin{displaymath} W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r}. \end{displaymath}$

(7.1)

La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un . Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que

$\begin{displaymath} W = \vec{F} \cdot\vec{r} = Fr\cos\alpha, \end{displaymath}$

(7.2)

en donde $\alpha$ es el ángulo que existe entre la línea de aplicación de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo.

$\diamond$ Se tiene así que una fuerza aplicada perpendicularmente a un desplazamiento no produce trabajo. Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. ¿Cómo se puede entender esto intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra trabajo con ``cansancio'' y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa debería producir trabajo físico, porque cansa. Para entender esta situación podemos pensar que realmente no es necesario sujetar personalmente la bolsa a cierta distancia del suelo, puesto que esta misma acción puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el trabajo auténtico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas que se oponen a él, como podría ser en este caso el rozamiento del soporte con el suelo.

$\mathcal{P}$ ¿Cuánto es el trabajo que produce la normal sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento sobre una superficie cualesquiera? $\mathcal{R}$ Ninguno, porque la fuerza normal siempre es perpendicular al desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo (producido por la normal) será nulo.

Ahora bien. ¿Cómo podemos definir el trabajo si la fuerza es variable, o si la trayectoria es curva?. En ese caso suponemos válida la definición de trabajo para una trayectoria muy pequeña (infinitésima) y sumamos (integramos) a todos los ``pequeños trozos de trayectoria''.

Es decir:

$\begin{displaymath} W_2 -W_1 = \int^2_1 \vec{F} \cdot d\vec{r} \end{displaymath}$

(7.3)

$\mathcal{P}$ Un niño arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un ángulo con el suelo de . ¿Cuál es el trabajo producido? $\mathcal{R}$ Utilizando la fórmula (7.2) tenemos simplemente que:

$\begin{displaymath}W=80\cdot 100\cos 30 = 6928.20 J\end{displaymath}$

$\triangleright$ Las definiciones de trabajo son:

$\begin{eqnarray*} W&=&\int \vec{F}d\vec{r}\\ W&=&\vec{F}\cdot\vec{r} = Fr\cos\alpha\\ \end{eqnarray*}$

Trabajo conservativo

Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino sólo de los puntos inicial y final, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un punto hasta otro bajo la acción de una fuerza conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será el mismo independientemente del itinerario del cuerpo.

Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede definir una magnitud denominada energía potencial (ver 7.5.2). Ejemplos de fuerzas conservativas son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional $f(\vec{r})=f(r)\hat{r}$ ).

$\triangleright$ Trabajo conservativo es aquél que sólo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria.

Potencia

La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir

$\begin{displaymath} P = \frac{dW}{dt} \end{displaymath}$

(7.4)

donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como

$\begin{displaymath} P=\frac{W}{t}, \end{displaymath}$

(7.5)

y si la fuerza es constante se puede decir que

$\begin{displaymath} P = \vec{F}\cdot\vec{v}. \end{displaymath}$

(7.6)

La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. ().

$\triangleright$ Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.

$\diamond$ La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presión que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la fórmula (7.6) la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la velocidad es constante. ¿Qué podemos explicar con esto?. Supongamos que un automóvil está ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente del peso que ``tira de él hacia atrás''. El conductor se ve obligado a ir en una marcha corta, lo cual significa que la relación entre la fuerza y la velocidad va a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, únicamente para vencer los rozamientos.

Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia verá como, efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.

$\mathcal{P}$ Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros. $\mathcal{R}$ Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua. Usando la fórmula para fuerzas constantes y notando que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de módulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que,

$\begin{displaymath}W=Fd = 1000\cdot 9.8\cdot 10\cos 0 = 9.8\cdot 10^4 J.\end{displaymath}$

Aplicando ahora la ecuación de la potencia (7.5) tendremos que

$\begin{displaymath}P=\frac{9.8\cdot 10^4}{60} = 1.6\cdot 10^3 W.\end{displaymath}$

Energía

Se considera tácitamente la energía como la capacidad para hacer un trabajo, o bien el trabajo ``acumulado'' por un cuerpo.

El concepto de energía es uno de los más fructíferos de toda la física, pero también es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos definir unos conceptos previos.

Conceptos previos

Energía cinética

Energía cinética es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velocidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo de energía, pero no tenemos más que pensar que efectivamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformación, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energía.

Se puede demostrar la existencia de la energía cinética de varias formas. Una manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se está aplicando una fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton , tendremos un cuerpo sometido a una aceleración constante y, usando las ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que será $ma\Delta x$ con la velocidad.

Otra forma es calcular el trabajo que desarrolla un cuerpo sometido a una cierta fuerza paralela (para simplificar el cálculo) del tipo que sea. Utilizando (7.3) tenemos que

$\begin{eqnarray*} W & = & \int^2_1 F\,dx =\int^2_1 ma\,dx\\ & = & \int^2_1 m\f... ... & = & \int^2_1 mv\,dv = \frac{1}{2}mv^2_2 - \frac{1}{2}mv^2_1. \end{eqnarray*}$

Con lo cual se puede ver que el trabajo ``se acumula'' en forma de energía cinética cuya fórmula es

$\begin{displaymath} E_c = \frac{1}{2} m v^2 \end{displaymath}$

(7.7)

$\triangleright$ Energía cinética es la energía que tiene un cuerpo por desplazarse con cierta velocidad y su valor es

$\begin{displaymath}E_c=\frac{1}{2}mv^2.\end{displaymath}$

$\diamond$ En algunos libros de física se denomina a la energía cinética como .

Es más correcto expresarlo como

$\begin{displaymath} W_2 - W_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2, \end{displaymath}$

(7.8)

éste es el llamado teorema de las fuerzas vivas.

Para resolver un problema utilizando este teorema habrá que elegir unos instantes 1 y 2 y, calculando el trabajo y la energía en cada uno de estos instantes, el teorema nos permitirá relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, además, intentar que el máximo número de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el cálculo.

$\mathcal{P}$ Se aplica una fuerza horizontal de a un cuerpo de que está inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se moverá al cabo de 20 metros?. $\mathcal{R}$ Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas (7.8) a este problema y tendremos que

$\begin{displaymath}W = E_c^f - E_c^i\end{displaymath}$

siendo y los instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que, en este caso, es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo será, como la fuerza es paralela al desplazamiento, $W=Fd=100\cdot 20 = 2000J$ . Tendremos entonces que

$\begin{displaymath}2000J=\frac{1}{2}mv^2\end{displaymath}$

y por tanto

$\begin{displaymath}v=\sqrt{2\frac{2000J}{2kg}} = 44.72 \frac{m}{s}.\end{displaymath}$

Potencial

La energía potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se define la energía potencial en un punto de tal forma que se cumpla

$\begin{displaymath} W_{AB} = E_p(A) - E_p(B) \end{displaymath}$

(7.9)

Igualmente, unificando las definiciones (7.3) y (7.9) se puede decir que

$\begin{displaymath} W=\int \vec{F}\cdot d\vec{s} = -\Delta E_p \end{displaymath}$

(7.10)

es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminución de la energía potencial, donde hemos llamado $\Delta E_p = E_{p2}-E_{p1}$ .

Es muy importante darse cuenta de la aparición del signo en la fórmula (7.10), consecuencia de la definición (7.9) anterior. Dicho signo aparece también en las ecuaciones (7.11), (7.12), (7.13), y (7.14).

$\diamond$ Otra notación para la energía potencial es, en vez de llamarla , denominarla .

$\diamond$ Intuitivamente la energía potencial es la que tiene un cuerpo por el mero hecho de ocupar una determinada posición en el espacio. Así por ejemplo, veremos más adelante, concretamente en 7.5.2, que un cuerpo que se encuentre a una cierta altura sobre la superficie terrestre presenta, sólo por este hecho, una energía potencial. Podemos entender esto dándonos cuenta de que, efectivamente, un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energía, puesto que puede caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo durante su caída.

Gravitatoria en la superficie terrestre

Aplicando la definición de potencial indicada en (7.10) tendremos que

$\begin{displaymath} E_p = -\int_0^y m(-g)ds = mgy \end{displaymath}$

(7.11)

Se tiene que

$\begin{displaymath}E_p = mgy\end{displaymath}$

siendo la altura sobre el suelo o el nivel 0. En la integral aparece (-g) ya que el sentido de la fuerza de la gravedad es contrario al sentido en que se toman las alturas.

$\triangleright$ La energía potencial cuando el valor de se puede tomar constante es

$\begin{displaymath}E_p=mgh.\end{displaymath}$

Gravitatoria general

Como se puede ver más ampliamente en (11.1) todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitación universal, es decir, que el módulo de la fuerza de atracción es

$\begin{displaymath}F=-G\frac{Mm}{r^2},\end{displaymath}$

en donde el signo ``'' nos informa de que el sentido siempre es de atracción.

Así pues para calcular la energía potencial que un cuerpo de masa tiene por estar a una distancia de otro de masa no habrá más que calcular

$\begin{displaymath} E_p = -\int F\,dr = -\int -G\frac{Mm}{r^2}\,dr =-GMm\int-\frac{1}{r^2}\ dr = -G\frac{Mm}{r}. \end{displaymath}$

(7.12)

$\triangleright$ Energía potencial gravitatoria (en el caso general) es

$\begin{displaymath}E_p=-G\frac{Mm}{r}.\end{displaymath}$

$\diamond$ Tanto en esta fórmula como en la fórmula (7.14) un análisis del significado estas expresiones y, más concretamente, de la presencia de una en el denominador, nos indica que, para estas dos fórmulas, el origen de las energías se toma en el infinito, es decir, que la energía potencial de un planeta (por ejemplo) es nula, cuando este planeta está totalmente aislado, es decir, infinitamente alejado, del otro.

Elástica

Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan $\vec{F} = -k\vec{r}$ se tiene que, (tomando una única dimensión)

$\begin{displaymath} E_p = -\int F dx = -\int -kx\,dx = \frac{1}{2}Kx^2 \end{displaymath}$

(7.13)

$\triangleright$ La energía potencial de un sistema que obedece a la ley de Hooke es

$\begin{displaymath}E_p=\frac{1}{2}Kx^2.\end{displaymath}$

Electrostática

Dadas dos partículas con cargas y , se comenta en el apartado 12.1 como el módulo de la fuerza de atracción entre ambas cargas es

$\begin{displaymath}F = K\frac{Qq}{r^2},\end{displaymath}$

siendo la distancia que existe entre ambas cargas. De esta forma se puede extraer fácilmente que la energía potencial electrostática será

$\begin{displaymath} E_p = - \int Fdr = -\int K\frac{Qq}{r^2}dr = KQq\int \frac{-dr}{r^2} = K\frac{Qq}{r} \end{displaymath}$

(7.14)

$\triangleright$ Energía potencial entre dos partículas cargadas es

$\begin{displaymath}E_p=K\frac{Qq}{r}.\end{displaymath}$

Conservación de la energía

Cuando en un sistema sólo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que se cumple el siguiente teorema de conservación de la energía

$\begin{displaymath} E_p(A) + E_c(A) = E_p(B) + E_c(B) \end{displaymath}$

(7.15)

Siendo y dos momentos cualesquiera en la evolución de la partícula, y y la suma de todas las energías potenciales que tenga el cuerpo en los puntos y .

Este teorema es muy útil para la resolución de ciertos aspectos de los problemas, sobre todo los relacionados con la obtención de la velocidad en determinados instantes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en superficie, particularizando (7.15) tenemos

$\begin{displaymath}\frac{1}{2}mv_1^2 + mgy_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgy_2\end{displaymath}$

de donde podremos despejar fácilmente la velocidad en uno y otro instante según los datos que conozcamos.

$\triangleright$ El teorema de conservación de la energía dice que la energía total en todos los instantes es la misma, siendo la energía total la suma de las energías cinéticas más las potenciales.

$\mathcal{P}$ Un cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. ¿A qué velocidad estará cuando se encuentre tan sólo a 1 metro sobre el suelo? $\mathcal{R}$ Llamemos al instante inicial, en que encuentra parado y a 7 metros, y al segundo instante, cuando viaja a una velocidad y se encuentra a tan sólo 1 metro. Tendremos entonces que

$\begin{displaymath}E_p^A + E_c^A = E_p^B + E_c^B\end{displaymath}$

en donde , , como parte del reposo $E_c^A = \frac{1}{2}mv^2 = 0$ porque y denominando a la velocidad cuando pasa por el punto tendremos que $E_c^B=\frac{1}{2}mv_B^2$ . Tendremos entonces que

$\begin{displaymath}mg7 = mg1+\frac{1}{2}mv^2_B \Rightarrow v=\sqrt{2g(7-1)} \approx 10.84\frac{m}{s}.\end{displaymath}$

Rozamiento

En el caso de que exista rozamiento u otras pérdidas de energía no conservativas podremos aún seguir usando (7.15) siempre que tengamos la precaución de introducir esta energía perdida por rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo si tenemos un problema en el cual aparece la energía potencial en la superficie terrestre y también una fuerza de rozamiento podríamos plantear la ecuación de conservación de la energía entre los instantes 1 y 2 como

$\begin{displaymath}\frac{1}{2}mv_1^2 + mgy_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgy_2 + E^*,\end{displaymath}$

donde se ha representado por la energía que se ha perdido entre dichos instantes.

$\triangleright$ Cuando aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas los puedes poner como

$\begin{displaymath} E_c^A + E_p^A = E_c^B + E_p^B + E^* \end{displaymath}$

(7.16)

Donde es el trabajo no conservativo.

A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que $W=Fd\cos\alpha$ y que $\alpha = 180^o$ porque el rozamiento siempre se opone al desplazamiento. De esta forma se tendría que $W=-\mu N gs$ pero, como el término se sitúa en el miembro derecho de la ecuación (7.16) con valor positivo, simplemente

$\begin{displaymath}E^* = \mu N s,\end{displaymath}$

donde es la normal y es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir, la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \epsfig{file=figuras/rampa_roz.eps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: ¿A qué velocidad llegará al final?.

$\mathcal{P}$ Dejamos caer desde el reposo un cuerpo de masa por una rampa de $\alpha$ grados de inclinación desde una altura (ver figura 7.1). Si la rampa ofrece un coeficiente de rozamiento $\mu$ . ¿A qué velocidad llegará al suelo?

$\mathcal{R}$ Planteemos la ecuación de conservación de la energía expresada en (7.16) y analicemos el valor de cada término. Antes llamaremos al instante en el cual el cuerpo se encuentra a cierta altura y cuando el cuerpo está ya al nivel del suelo con una velocidad . Así tendremos que

$\begin{eqnarray*} E_p^A & = & mgh \\ E_p^B & = & mg0 = 0 \\ E_c^A & = & \frac{... ...^2 = 0 \\ E_c^B & = & \frac{1}{2}mv^2 \\ E^* & = & \mu N s \\ \end{eqnarray*}$

Donde queda por precisar que es el espacio total recorrido por el cuerpo mientras bajaba por la rampa. Teniendo en cuenta que el espacio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde un ángulo mide $\alpha$ y su lado opuesto mide , se tiene que $s=\frac{h}{\sin\alpha}$ .

Respecto a la normal , como se ha visto ya en 6.6, su valor será $N=mg\cos\alpha$ por lo que el valor de en función de parámetros conocidos será

$\begin{displaymath}E^* = \mu mg\cos\alpha\frac{h}{\sin\alpha}\end{displaymath}$

Por fin utilizando (7.16) tenemos que

$\begin{displaymath}mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg\cos\alpha\frac{h}{\sin\alpha}\end{displaymath}$

y despejando se obtiene la solución, que es,

$\begin{displaymath}v=\sqrt{2gh\left( 1-\mu\tan\alpha^{-1}\right)}.\end{displaymath}$

$\circ$ Como consecuencia del problema anterior ¿Para qué relación entre $\mu$ y $\alpha$ el cuerpo no podría bajar por la rampa?.

Impulso

El impulso surge de integrar la fuerza respecto al tiempo.

$\begin{displaymath} \vec{I} = \int \vec{F} dt. \end{displaymath}$

(7.17)

O lo que es lo mismo,

$\begin{displaymath}\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = I_2 - I_1 = \int \vec{F} dt.\end{displaymath}$

Gradiente

$\circ$ Sabiendo que podemos expresar un incremento infinitesimal de energía potencial como

$\begin{displaymath}d\, E_p = E_p(\vec{r}+d\vec{r}) - E_p(\vec{r}) = -\vec{F}\cdot d\vec{r} = -(F_xdx + F_ydy + F_zdz)\end{displaymath}$

y que la regla de derivación de la cadena para varias dimensiones nos dice que

$\begin{displaymath}dE_p = \frac{\partial E_p}{\partial x}dx + \frac{\partial E_p}{\partial y}dy + \frac{\partial E_p}{\partial z}dz\end{displaymath}$

tenemos entonces una interesante relación^7.1 que nos dice que

$\begin{displaymath}\left. \begin{array}{ccc} F_x & = & -\frac{\partial E_p}{\par... ...F_z & = & -\frac{\partial E_p}{\partial z} \end{array}\right\}.\end{displaymath}$

A raíz de esto se puede definir matemáticamente el gradiente de un escalar como nabla por dicho escalar. Por nabla se define al ``vector^7.2'' $\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\hat{\imath}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{\jmath}+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$ . La notación $\frac{\partial f}{\partial x}$ supone derivar la función respecto a la variable y considerar el resto de variables, (, , etc.) como si fueran constantes.