Gravitación y campo gravitatorio

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Introducción. Ley de la gravitación universal. Enunciado. Las leyes de Kepler. Principio de superposición. Campo gravitatorio. Concepto. Entidad matemática. Energía potencial gravitatoria. Problemas concretos. Cálculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un sistema de partículas. Cálculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo continuo. Problemas de satélites. Velocidad de escape. Medida de la gravedad en la superficie de un planeta. Cálculo de la atracción gravitatoria de algunos sólidos simples. Varilla delgada horizontal. Plano infinito. Campo gravitatorio de un objeto esférico homogéneo.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 2564 | Votar | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
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Gravitación y campo gravitatorio

Introducción

La ley de Newton $\vec{F}=m\vec{a}$ es muy útil para indagar cómo se mueve un cuerpo sometido a una cierta fuerza, pero no obstante hay algunas situaciones en las cuales hay que indagar cual es la fuerza a la que se ve sometido un cuerpo determinado. Entre estas fuerzas las más conocidas son la gravitatoria y la electrostática, de aspecto muy similar pero orígenes distintos.

No obstante estas fuerzas aparecen gracias a una extraña ``acción a distancia''. Para evitar este concepto se introduce el concepto de campo, como una ``deformación'' que sufre el espacio^11.1que posibilita esta acción a distancia entre unas partículas y otras.

Ley de la gravitación universal

Enunciado

Esta ley, descubierta por Newton, afirma que dos masas cualesquiera experimentan una atracción entre ellas en la línea que une sus cuerpos y que dicha atracción es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir

$\begin{displaymath} \vec{F} = -G \frac{Mm}{r^2}\widehat{r} \end{displaymath}$

(11.1)

En esta ley si tomamos $\vert\vec{r}\vert=\sqrt{x^2+y^2}$ podemos decir también que

$\begin{displaymath}\left.\begin{array}{ccc} F_x & = & -GMm\frac{x}{r^3} \\ F_y & = & -GMm\frac{y}{r^3} \end{array}\right\}\end{displaymath}$

Donde es la masa de un cuerpo, la del otro, el módulo de la distancia que hay entre ellos, que podemos expresar como $r=\left( x^2+y^2+z^2\right)^{1\over 2}$ y es la constante de gravitación universal cuyo valor experimental es aproximadamente

$\begin{displaymath}G= 6.672\cdot 10^{-11} m^3kg^{-1}s^{-2}.\end{displaymath}$

Las leyes de Kepler

Estas leyes de índole empírica son

Los planetas describen órbitas elípticas y planas alrededor de su sol, donde éste último ocupa el foco de la elipse.
El vector de posición con respecto al sol de un planeta cualquiera barre áreas iguales en tiempos iguales.
Los planetas que giran alrededor de una misma estrella cumplen que $T^2 \propto R^3$ , siendo su periodo y la distancia a la estrella.

Principio de superposición

La ley descubierta por Newton se aplica al hallar la fuerza de atracción entre dos únicos cuerpos puntuales. Por eso es lógico preguntarse que sucederá cuando tenemos tres o más cuerpos que se atraen gravitatoriamente entre sí. Para ello se ha descubierto el principio de superposición.

Este principio indica simplemente que, a la hora de calcular cual será la fuerza que siente una partícula por otro conjunto de partículas, basta sumar vectorialmente las fuerzas.

Esta propiedad, pese a que estamos acostumbrados a ella, no deja de ser sorprendente. De alguna forma la perturbación que se crea en el espacio y que logra que los cuerpos se atraigan, es independiente de si ya existe otra perturbación creada por el mismo cuerpo, y simplemente se suman sus resultados respectivos para formar el total.

$\circ$ Esta propiedad general que presenta la física en muchos campos se suele llamar linealidad. También a veces se habla de física lineal, óptica lineal, etc... indicando aquellos ámbitos en los que es válido afirmar que la perturbación total es simplemente la suma de las perturbaciones parciales.

$\triangleright$ Para un conjunto de partículas la fuerza gravitatoria que experimenta una partícula es, simplemente, la suma de los vectores de cada una de las fuerzas involucradas.

Campo gravitatorio

Concepto

Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol ``tira'' de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usando para ello un concepto denominado ``acción a distancia'', es decir, esta misteriosa capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que ``haya nada en medio''. No obstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planeta se sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la que denomina campo.

$\circ$ ¿Pero por qué afirmar que es más físico suponer la existencia de este campo?. Para ello valgámonos de un ejemplo sencillo. Si en un estanque en el cual hay bastantes olas porque un niño se está bañando enfrente, nosotros dejamos caer un corcho de una botella observaremos que éste oscila. La interpretación de ``acción a distancia'' postularía que es el niño el que, de una forma quizás ``misteriosa'' ha logrado hacer oscilar el corcho. La interpretación de campo sostiene que el niño crea una perturbación en el medio, en este caso el agua, que se transmite y llega hasta el corcho, haciéndole oscilar. Incluso podríamos ver que, como las ondas son esféricas y se van haciendo cada vez más grandes, si su energía permanece constante, como ha de repartirse entre la longitud de la onda total, que es $2\pi r$ , su efecto decrecerá con el inverso de la distancia. Podríamos postular así la ley de acción a distancia del niño sobre los corchos de botella como ``todo niño en un estanque genera una fuerza oscilatoria sobre los corchos de los alrededores que depende directamente de la fuerza del niño e inversamente de la distancia a dicho niño'', pero no obstante es mucho más natural pensar que el niño se limita a realizar una perturbación que afecta tarde o temprano al corcho.

Estas dos formas de ver el mismo fenómeno, no obstante, dejan claras dos diferencias extraordinariamente importantes:

En la ``acción a distancia'' no parece haber ningún inconveniente para que dicha acción se ejerza instantáneamente, pero en cambio cuando usamos el concepto de campo parece lógico que la perturbación se propague y tarde, por consiguiente, cierto tiempo en alcanzar su objetivo. Vemos pues que existe así una forma mucho más tangible de ver si el Sol genera un campo o una acción a distancia. La respuesta es un campo, aunque tendríamos que irnos hasta la mecánica relativista, que escapa de los objetivos de este libro, para comentar que, efectivamente, la gravedad ``tarda'' en llegar desde el Sol hasta nuestro planeta cierto tiempo. Concretamente, si lográsemos quitar repentinamente el Sol de nuestro Universo la Tierra no se enteraría de su ausencia gravitatoria hasta pasado un cierto tiempo. ¿A qué velocidad se propaga esta alteración gravitatoria? A la velocidad de la luz , como casi todo en mecánica relativista.
La presencia de un campo implica de alguna forma la existencia de un ``medio'' que propague la perturbación. Este medio sería el agua, en el ejemplo didáctico expuesto anteriormente, y el vacío en nuestro caso concreto de la gravedad (y el electromagnetismo). Por tanto el ``vacío'' no está tan vacío como parece, sino que debe presentar una cierta estructura que permita transmitir estas alteraciones. A esta estructura Albert Einstein, Minkowsky y otros la denominaron espacio-tiempo.

Entidad matemática

Partiendo de la ecuación (11.1) de Newton para la gravitación podemos ver que, si consideramos un cuerpo aislado, podemos suponer que este ejerce un campo igual a la fuerza que experimentaría una partícula de masa dividido, precisamente, por esta masa . Así tenemos que el campo gravitatorio, que llamaremos $\vec {g}$ es, simplemente

$\begin{displaymath}\vec{g}=\frac{\vec{f}}{m}.\end{displaymath}$

$\triangleright$ El campo gravitatorio $\vec {g}$ que existe en cualquier sitio del espacio es igual a la fuerza neta que experimentaría una partícula de masa en dicho punto dividida por esa misma masa.

De esta manera, de forma general, tendremos que el campo $\vec {g}$ que genera una partícula de masa será

$\begin{displaymath}\vec{g} = -\frac{Gm}{r^2}\widehat{r}.\end{displaymath}$

Energía potencial gravitatoria

Resulta muy interesante hacer un estudio sobre la energía potencial que puede tener un cuerpo por el hecho de estar sumergido en un campo gravitatorio. Sabemos ya que los campos gravitatorios producidos por una partícula puntual, serán centrales y que toda fuerza central es conservativa y, por tanto, tendrá una energía potencial. Ahora bien, saber cuál será ésta puede ser o no sencillo. Veremos en este caso cuál es dicha energía potencial gravitatoria.

La energía potencial es fácilmente obtenible a través del trabajo que supone desplazar una partícula o cuerpo desde una posición hasta otra. Esto es así porque esta magnitud nos expresa una cierta energía ``especial'', ya que la tiene el cuerpo por ocupar una posición, y la energía está íntimamente relacionada con el trabajo. Así podemos plantear cuál será dicho trabajo como

$\begin{displaymath}W_{AB} = \int^B_A \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{l}.\end{displaymath}$

Como dicho trabajo resulta venir de una fuerza conservativa central emplearemos la misma técnica que se usaba para ver que las fuerzas centrales eran conservativas: separamos mentalmente la trayectoria en órbitas perpendiculares a la fuerza, en las cuales el trabajo será cero, y otras paralelas a dicha fuerza. En las fuerzas centrales las órbitas perpendiculares en todo punto a la fuerza resultan ser círculos concéntricos. Así pues sólo va a intervenir el trabajo realizado por alejar o acercar un cuerpo del origen, y la ecuación anterior pasará a ser

$\begin{displaymath}W_{AB} = \int^{r_B}_{r_A} F(r) dr,\end{displaymath}$

en donde sólo intervienen los módulos. Basta ahora recordar que $F=-\frac{GMm}{r^2}$ para obtener que

$\begin{displaymath}W_{AB}=-\int^{r_B}_{r_A} \frac{GMm}{r^2}dr = GMm\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right).\end{displaymath}$

Como $W_{AB}= E_p(\vec{r_A}) - E_p(\vec{r_B})$ tenemos por fin que:

$\begin{displaymath} E_p^{grav}(\vec{r}) = -\frac{GMm}{r}. \end{displaymath}$

(11.2)

$\diamond$

Intentando interpretar el resultado (11.2) tenemos que para que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo sea cero éste debe encontrarse �en el infinito!. ¿Cómo se entiende esto?. Como el alcance de la fuerza gravitatoria es infinito el hecho de que un cuerpo deje de sentirla supone que dicho cuerpo está infinitamente alejado. Ése es, en principio el significado de esta elección de origen de energía potencial.
Otro dato significativo es el hecho de que dicha energía sea negativa. Hasta ahora todas las energías nos habían salido positivas. ¿Qué puede significar que una energía sea negativa?. Para ello vamos a pensar en lo que supone tener un cuerpo con energía cero. Teóricamente éste sería un cuerpo incapaz de producir trabajo alguno. No es difícil asociar este cuerpo con uno situado en el vacío más absoluto, aislado y quieto en nuestro sistema de referencia. Como no tiene velocidad ni hay perturbación alguna su energía debería ser cero. Pensemos ahora en que hay que hacer para que un cuerpo parado en las cercanías de otro llegue a tener energía cero. Para ello deberíamos aislarle del otro, y para hacerlo le alejamos hasta el $\infty$ . Ahora bien, como el otro cuerpo le atrae hemos de aportar energía para alejarle hasta dejarle aislado. Ahora bien, si para que este cuerpo tenga una energía nula hemos de darle nosotros energía, significa que, de alguna forma, este cuerpo ``debe energía'', pues hemos de dársela nosotros para que su energía total sea cero. Precisamente como ``debe'' energía tenemos que su es menor que cero.

Problemas concretos

Cálculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un sistema de partículas

Recordando el principio de superposición enunciado en 11.2.3, para calcular la fuerza que sobre una partícula de masa y radio $\vec{r}$ ejerce un sistema de partículas con masas $m_i,\ i=1,...,N$ y radios $\vec{r}_i$ basta ``sumar'' todos los campos producidos, esto es

$\begin{displaymath}\vec{F} = \sum^N_{i=1} \vec{F}_i = - \sum^N_{i=1} \frac{Gmm_i}{\left(\vec{r}-\vec{r}_i\right)^2} (\widehat{r-r_i})\end{displaymath}$

Cálculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo continuo

Si debemos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo continuo deberemos, aplicando el principio enunciado en 11.2.3, ``sumar'' todas las contribuciones. Para una suma continua hemos de recurrir al cálculo integrar y lograr así conseguir

$\begin{displaymath}\vec{F}= -\int \frac{Gm}{\left(\vec{r}_0 - \vec{r}\right)^2} (\widehat{r_0-r}) dm.\end{displaymath}$

Después como se hace usualmente se reemplaza por $\rho(\vec{r}) dV$ y se integra.

$\diamond$ Esta integración, que en el caso general puede resultar complicada, queda muy simplificada en problemas que presenten simetría eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas.

Problemas de satélites

Para resolver problemas de satélites generalmente basta con lograr relacionar su velocidad con la altura a la que órbita. Para ello se supone que describen una órbita circular a velocidad angular constante y que, por tanto, debe existir una fuerza que proporcione la aceleración normal necesaria. Esta fuerza es la gravitatoria.

Sabiendo entonces que

$\begin{displaymath}m\frac{v^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}\end{displaymath}$

y relacionando con otras magnitudes como $v=R\omega$ y $\omega=\frac{2\pi}{T}$ suele bastar para sacar estos problemas.

Velocidad de escape

Se llama velocidad de escape a aquella que hay que dar a un cuerpo para que logre desligarse de la atracción gravitatoria a la que se encuentra sometido. Como desligar a un cuerpo de la atracción gravitatoria supone en cierta medida aislarlo del cuerpo que lo atrae, necesitaremos que la energía que tenga dicho cuerpo, sea, por lo menos, nula. En caso contrario tendrá una cierta energía potencial negativa, que supondrá que aún se encuentra ligado con el sistema que le atrae. Así pues tomando que la energía total, suma de cinética y potencial debe ser cero, tendremos que

$\begin{displaymath}\frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{r}=0\end{displaymath}$

y de aquí se puede extraer dicha conclusión. Se ha aplicado la ecuación (11.2). Es notable que la resolución de este problema supone el claro entendimiento de la sección 11.4.

Medida de la gravedad en la superficie de un planeta

El valor de $\vec {g}$ en la superficie de un planeta será sencillamente el valor que el campo $\vec {g}$ tiene en dicho punto y, por tanto

$\begin{displaymath}\vec{g}=\frac{GM}{R^2}\end{displaymath}$

donde es la masa del planeta y el radio que dicho planeta tiene.

Cálculo de la atracción gravitatoria de algunos sólidos simples

Para algunos sólidos simples o que presenten simetría se puede calcular con relativa sencillez la atracción gravitatoria que ejercen, o su campo $\vec {g}$ . Generalmente bastará integrar en unos casos y aplicar astutamente el teorema de Gauss en otros.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/varilla-delgada.ps}} \end{center}\end{figure}$

Figura 11.1: Campo $\vec {g}$ generado por una varilla delgada.

Varilla delgada horizontal

Para lograr calcular cual puede ser el campo que se ejerce a una distancia de una varilla delgada, como la de la figura 11.1 tomemos un punto cualquiera a una distancia . La pequeña masa generará un campo $d\vec{g}$ que será

$\begin{displaymath}d\vec{g}=-G\frac{dm}{x^2}\hat{\imath}.\end{displaymath}$

En estos casos siempre se toma la varilla homogénea, de donde $dm=\lambda dx$ , aunque si no lo fuera tendríamos que $dm=\lambda(x) dx$ y se integra entre los extremos que hay masa, es decir, variando entre y . Así tenemos que

$\begin{displaymath}\vec{g}=\int d\vec{g} = \int^{L+D}_{D} -G\frac{\lambda}{x^2}d... ...ac{GM}{L}\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{L+D}\right) \hat{\imath}\end{displaymath}$

donde hemos sustituido $\lambda = \frac{M}{L}$ .

Plano infinito

Si tenemos un plano infinito y queremos hallar el campo en cualquier punto tendremos que, necesariamente, en dicho punto el campo tiene que ser perpendicular al plano. Esto es así porque al ser el plano infinito en cualquier zona que estemos estamos ``en el medio del plano'', es decir, hay la misma cantidad de masa en todas las direcciones. Podemos usar el teorema de Gauss para resolver este problema. Tomando como superficie un cilindro perpendicular al plano y de tal manera que la mitad este a un lado y la otra mitad al otro tendremos que el flujo total que atraviesa será $\phi=-4\pi GM$ donde $M=\sigma S$ siendo $\sigma$ la densidad superficial y el área que encierra el cilindro, que será la misma que la de su tapa. EL flujo se puede calcular fácilmente. Será solamente el de las tapas, pues los bordes resultan paralelos al campo que, como hemos dicho antes, es perpendicular. En las tapas, por simetría, el campo será el mismo a lo largo de toda la tapa, y como además será perpendicular a ella tendremos que el flujo total resulta ser $\phi=-2Sg$ donde el 2 es debido a que tiene dos tapas, y es sencillamente el campo por la superficie que, en este caso particular y sencillo, nos dará el flujo.

Relacionando ahora con la ecuación de Gauss anteriormente escrita tenemos que $-4\pi G\sigma S = -2Sg$ y de esta manera deducimos que $g=2\pi G\sigma$ que, de forma un tanto sorprendente, no depende de la distancia a la que estemos del plano.

$\diamond$ Como ejercicio puede ser interesante plantearse el campo gravitatorio que generaría un hilo recto homogéneo infinitamente largo.

Campo gravitatorio de un objeto esférico homogéneo^11.2

Si tenemos un objeto esférico homogéneo podemos decir, por simetría, que el campo que genere será central. Entonces tomaremos como superficie de Gauss una esfera más grande que el objeto, concéntrica con él y cuyo radio, tomando como origen el centro del objeto, sea . Dado que el campo de la esfera es central éste cortará perpendicularmente a la superficie de Gauss en todo punto, de donde el flujo será sencillamente $\phi = -g 4\pi r^2$ pues es el módulo del campo, aún no sabemos cuanto, y $4\pi r^2$ la superficie total de la esfera que usamos como superficie de Gauss.

Igualando este resultado con (10.2) tendremos que

$\begin{displaymath}-4g\pi r^2 = -4\pi Gm\end{displaymath}$

y, por tanto, el resultado es que la esfera actúa como si toda su masa estuviera concentrada en su centro, pues

$\begin{displaymath}g=\frac{Gm}{r^2}.\end{displaymath}$