DESARROLLO MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROSTATICO

Dado un sistema de N cargas puntuales q₁ . q₂ . q_N , localizadas en un volumen V', el potencial electrostático en un punto genérico P(r), situado a una distancia r del origen de coordenadas, viene dado por:

siendo r_k el módulo del vector de posición de la carga k-ésima. Si suponemos que el punto P está muy alejado del volumen de la distribución, podemos desarrollar la expresión anterior en potencias de (r_k/r). y así escribir :

siendo en cada caso :

- Q la carga total de la distribución:

- el denominado momento dipolar eléctrico de la distribución de carga, y que viene dado por :

- Q_ij los elementos del tensor cuadrupolar dados por :

Se observa que el primer término (término monopolar) de este desarrollo corresponde al potencial creado por una carga puntual colocada en el origen de coordenadas y de valor igual a la carga total de la distribución.

El segundo término se denomina término dipolar, y a una cierta distribución de carga que creara un potencial igual al de este término se le denomina dipolo eléctrico. Este dipolo se caracteriza por su momento dipolar, y así decimos que el segundo término de este desarrollo corresponde al potencial electrostático creado por un dipolo colocado en el origen con momento dipolar p. Las unidades del momento dipolar son [Cm].

De forma similar, el tercer término recibe el nombre de cuadrupolar, y se denomina cuadrupolo eléctrico a la correspondiente distribución de carga que creara un potencial electrostático igual únicamente a este término. Un cuadrupolo está caracterizado por el correspondiente tensor cuadrupolar Q_ij. Este término corresponde entonces al potencial creado por un cuadrupolo colocado en el origen de coordenadas. Las unidades de estos elementos son [Cm²]. Así podríamos seguir para términos superiores.

Para el caso de distribuciones continuas, las expresiones para la carga total, el momento dipolar eléctrico y los elementos cuadrupolares Q_ij , vienen dado por :

Estas magnitudes determinan los llamados momentos monopolar, dipolar, cuadrupolar, etc., de la distribución continua de cargas. Para el propósito que nos ocupa resulta de utilidad resaltar los siguientes resultados :

Þ Variación con la distancia  : un aspecto muy importante radica en el hecho de que la contribución de cada uno de estos términos varía con la distancia r según 1/r, 1/r², 1/r³ ...1/rⁿ, lo que supone que conforme aumentamos el orden de estos términos su contribución es cada vez más pequeña.

Þ Efecto de la elección del origen : Los momentos de la distribución, tanto en el caso de cargas puntuales como en el de una densidad continua de cargas, dependen en general de la elección del origen de coordenadas. únicamente el término monopolar Q es una función única de la distribución que no depende del origen. Es fácil demostrar, sin embargo, que en el caso de una distribución neutra de carga (Q = 0) el momento dipolar no depende del origen elegido. La contribución dipolar al potencial es en este caso la más importante del desarrollo multipolar (1). Dado los átomos y moléculas son neutros, tendremos que su momento dipolar resulta ser una magnitud intrínseca, independiente de un origen. Este resultado es generalizable de forma que, en una distribución con Q = 0 y también p = 0, el momento cuadrupolar (primer término del desarrollo para este caso) se hace entonces independiente del origen.