¿Que es la combinatoria?

Informe para Analisis Matematico I.

-Alumnos:

Carlos Suarez.

Guillermo Lombardini

Es una rama de las matemáticas que estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de gran importancia en otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles de un sistema). También tiene importantes aplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias físicas y sociales. De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un número finito de elementos.

Variaciones

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto. Por ejemplo, si se toma una baraja con cuarenta cartas, cada una de las distintas formas en que se pueden repartir 4 cartas es una variación de las 40 cartas tomadas de cuatro en cuatro. El número de variaciones de n elementos tomados de k en k se denota V_n,k, cuyo valor viene dado por la fórmula general

donde n! —leído 'n factorial'— representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definición.

Permutaciones

Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Si se toma una baraja que sólo tenga una sota (S), un caballo (C), un rey (R) y un as (A), cada una de las formas en que estas cartas se pueden repartir es una permutación. En este ejemplo hay 24 posibilidades: SCRA SCAR SRAC SRCA SACR SARC CSRA CSAR CRAS CRSA CASR CARS RCSA RCAS RSAC RSCA RACS RASC ACRS ACSR ARSC ARCS ASCR ASRC. El número de posibles permutaciones se puede calcular observando lo que ocurre al repartir las cartas: la primera carta repartida puede ser una de las 4 posibles cartas, la segunda es una de las tres restantes, la tercera es una de las dos posibles y finalmente sólo queda una cuarta carta. Esto da un número total de permutaciones igual a 4 × 3 × 2 × 1 = 24, que se puede escribir como 4!. En general, hay n! permutaciones en las que colocar n elementos en orden.

El número de permutaciones de n elementos se denota P_n. Las permutaciones son un caso particular de las variaciones P_n = V_n,n = n! cuando el número de elementos del conjunto de objetos es igual al de cada uno de los conjuntos ordenados.

Combinaciones

Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que no importa su orden. Siguiendo con el ejemplo del reparto de cartas, normalmente no importa el orden en que se reciben éstas. El número de posibles combinaciones de la mano recibida por un jugador es igual al número de variaciones en que las cartas se podían haber repartido, dividido por el número de posibles formas de ordenar la mano. Por ejemplo, hay V_40,4 formas de repartir 4 cartas de una baraja de 40, y hay P₄ de ordenar dichas cartas. Por tanto, hay V_40,4/P₄ posibles combinaciones. En general, el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k se escribe C_n,k, y su valor está dado por la siguiente fórmula: