k₁ = ( 3,06 ± 0,42) N/m

Segunda parte: determinación del período de oscilación del resorte e investigación de su dependencia de distintas magnitudes.

a) Para determinar si existe dependencia del período de oscilación de un resorte con la amplitud de la oscilación, medimos el período para diferentes amplitudes y comparamos los resultados.

Dispusimos el FG y el ST como se muestra en la figura y seleccionamos en el ST medición de tiempo (time) en el modo péndulo (pendulum).

Suspendimos del resorte una masa de 20 g y determinamos la posición de equilibrio (l_eq), desplazamos el cuerpo hacia abajo midiendo con la cinta métrica el desplazamiento que determinara la amplitud con la que oscilará el resorte una vez soltado (A = l - l_eq).

Dejamos el cuerpo en libertad y presionamos el botón START/STOP del ST. Escuchamos tres "beeps" indicando que el ST registro tres interrupciones del haz infrarrojo del FG, correspondientes a una oscilación completa del resorte. En el display del ST leímos el valor del período. Sin detener el resorte volvimos a presionar el botón START/STOP del ST y registramos así dos mediciones más. Volcamos estas mediciones a la tabla II y determinamos el período de oscilación promedio. Repetimos el experimento para distintas amplitudes y completamos la tabla II.

l_eq = ( 26,5 ± 0,1 ) cm

m = ( 20 ± 1 ) g

Tabla II

Teniendo en cuenta las incertezas correspondientes a cada período, podemos decir que éste no depende del amplitud de la oscilación del resorte, ya que todos los valores son iguales. Se puede calcular entonces, el período de oscilación promedio (T_p). Calculando la desviación de cada medición como la diferencia entre cada valor de T y T_p, se elige el mayor de estos valores como la incerteza absoluta del período promedio. A partir de esta observación completamos la tabla III:

Tabla III

b) Ahora queremos determinar si el período de oscilación de un péndulo elástico depende de la masa que cuelga del mismo. Para ello medimos el período de oscilación del resorte 1 para distintos valores de la masa suspendida del mismo. Repetimos el procedimiento tres veces para cada valor de m. Con los valores medidos completamos la tabla IV.

A partir de las conclusiones contenidas en a) se deducen que la amplitud con la que oscila el resorte no es importante al tomar las mediciones.

Tabla IV:

(Ver apéndice de propagación de incertezas para detalles sobre los cálculos)

En este caso el período de oscilación no se pude promediar ya que varía según la carga. Observando los datos obtenidos podemos afirmar que el período de oscilación del resorte 1 depende de la masa suspendida al mismo.

Graficamos T² = f (m), con sus respectivas incertezas. En este gráfico tuvimos en cuenta la masa inicial de 20 g, por lo que agregamos 1 g a la incerteza de la masa.

A partir de la representación gráfica podemos deducir que T² es directamente proporcional a la masa, verificando así la ecuación de T:

T = 2p √ m/k

T² = C m

A partir del método del pendiente máxima y mínima establecimos el valor de la pendiente promedio C₁ (ver apéndice) y luego calculamos la incerteza (ver apéndice nuevamente).

C₁ = ( 14,1 ± 1,1 ) s²/kg

K₁ = 4p²/C₁ = ( 2,8 ± 0,22 ) kg/s²

Aunque a primera vista las unidades de 4p²/C₁ parecen incorrectas, no lo son, ya que N/m equivale a kg . m lo que, si simplificamos la masa, equivale a kg/s².

m . s²

Verificamos este valor comparándolo gráficamente con el que obtuvimos previamente. (Gráfico VI)

c) Trabajando ahora con el resorte 2 intentaremos establecer la dependencia del período de oscilación de los resortes con la constante elástica de los mismos.

Retiramos el resorte 1 del soporte y colocamos en su lugar el resorte2. Primero repetimos el procedimiento llevado a cabo en la Primera Parte y así determinamos la constante elástica del resorte 2. Usamos los mismos valores de masa registrados en la Tabla I para hacer más fácil la comparación de los resultados. Con estas mediciones completamos la Tabla V.

Tabla V

Graficamos la fuerza en función del alargamiento. A partir de esto, calculamos la constante elástica del resorte 2 con su incerteza utilizando el método gráfico de pendiente máxima y mínima (ver apéndice).

k₂ = ( 8,13 ± 1,23 ) N/m

Los resortes poseen distinta dureza. Así lo demuestran los valores obtenidos de las constantes elásticas, ya que, aun siendo la fuerza ejercida la misma, las constantes C₁ y C₂ difieren.

De la misma manera que trabajamos con el resorte 1, determinamos el período de oscilación usando los mismos valores de masa que en la Tabla IV. Volcamos los datos en la Tabla VI.

Tabla VI

Graficamos T² en función de la masa y obtuvimos una función de proporcionalidad directa. A partir del método de pendiente máxima y mínima determinamos el valor de la pendiente de la recta obtenida C_2.

C₂ = ( 5,36 ± 0,61 ) s²/kg

K₂ = 4 p² / C₂ = ( 7,365 ± 0,84 ) kg/s²

En el gráfico VI comparamos este valor de K con el obtenido a partir del gráfico de F = f (Dl) y lo verificamos.

Al comparar el valor de C₂ con el valor de C₁, observamos que para una misma masa los períodos de oscilación no coinciden. Como las constantes elásticas de los resortes son diferentes, podemos concluir que el período depende de la dureza del resorte.

Con los datos de las Tablas IV y VI verificamos que la siguiente expresión es válida.

T₂ ² ₌ k₁

T₁ k₂

k₁ / k₂ = ( 3,06 ± 0,42 ) s / ( 8,13 ± 1,23 ) s = (0,3764 ± 0,109)

A partir del gráfico y de la verificación de esta expresión podemos decir que el período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa que oscila, e inversamente proporcional a k.

parte II

Objetivo: comprobar la validez de la expresión que rige el período de oscilación de un péndulo simple a partir de la obtención del valor de la aceleración de la gravedad |g|.

Materiales: 1 bolita

Hilo de nylon

1 soporte

1 cronómetro Smart Timer (ST)

1 cinta métrica

1 sensor de barrera o fotogate (FG)

1 calibre

Procedimiento experimental y resultados

En primer lugar dispusimos los materiales como indica la figura. Seleccionamos en el ST medición de tiempo (TIME) en el modo péndulo (PENDULUM).

Apartamos el péndulo de su posición de equilibrio hasta que formase un cierto ángulo con la vertical. En la determinación del ángulo debimos tener en cuenta que éste no superara los 15º. Dejamos en libertad el péndulo y luego presionamos el botón START/STOP del ST. Escuchamos tres beeps indicándonos que el ST registró tres interrupciones del haz infrarrojo, correspondientes a una oscilación completa del péndulo.

Sin detener el péndulo volvimos a presionar el botón START/STOP del ST y así registramos dos mediciones más. Obtuvimos entonces el período de oscilación más probable realizando un promedio de los valores obtenidos y calculamos su incerteza máxima como la máxima desviación.

Luego descolgamos el péndulo del soporte y colocándolo sobre la mesa medimos con la cinta métrica la longitud del hilo; con el calibre medimos el diámetro de la bolita. A partir de estas mediciones obtuvimos la longitud total del péndulo (L) y completamos la Tabla VII.

Tabla VII

A partir de la fórmula que relaciona el período con la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad, calculamos g y su incerteza experimental (ver apéndice).

|g| = ( 9,8324 ± 0,0001 )m/s²

|g_exp| = ( 9,837 ± 0,189 ) m/s²

Verificamos gráficamente que este valor de la aceleración de la gravedad quede comprendido dentro del intervalo de indeterminación hallado experimentalmente (gráfico VIII). Podemos decir que estos valores coinciden.

La fórmula T = 2p √ l/g es válida para todo péndulo ideal, es decir, para todo punto material (masa de dimensiones nulas pero pesado) suspendido de un punto fijo con un hilo inextensible y sin peso. El péndulo que utilizamos en el experimento debe asemejarse lo más posible al ideal, por lo que la longitud del radio de la masa debe ser despreciable en comparación con la longitud del hilo y el ángulo de amplitud máxima no debe superar los 15º.

Apéndice: Propagación de incertezas

Cálculo de constantes a partir del método de pendiente máxima y mínima:

Para calcular las constantes k₁ y k₂ y C₁ y C₂, establecimos pendientes máximas y mínimas en los gráficos correspondientes a los respectivos resortes. En cada pendiente establecimos un punto, a partir del cual obtuvimos la constante de cada una.

P_a (x_a; y_a)

P_b (x_b; y_b)

y = k . x

k = y/x

A partir de la k_a y k_b, calculamos un promedio (k₁/k₂/C₁/C₂). La incerteza absoluta fue obtenida restando la constante de mínima pendiente a la de máxima pendiente.

k₁ = (k_a + k_b)/2

Cálculo del error de T_p2 en las tablas IV y VI:

Para calcular eT_p², multiplicamos eT por dos.

eT_p² = 2 . eT . T_p

Cálculo del error de 4p²/C:

No tomamos en cuenta el error de p, ya que utilizamos el valor dado por la calculadora.

e_C = e_C/C_probable

e_4p2/C = e_C/C_probable

e _4p2/C = 4p²/C . e_C/C_probable

Cálculo de errores en la verificación de la validez de la expresión T₂ ² = k₁

T₁ k₂

T₁ = ( T_1p ± e_T1p )

T₂ = ( T_2p ± e_T2p )

(T₂ / T₁)² = 2 . ( e_T2p/T_2p + e_T1p/T_1p ) . (T_2p / T_1p)²

k₁ = ( k_1p ± e_k1p )

k₂ = (k_2p ± e_k2p )

k₁ / k₂ = (e_k1p / k_1p + e_k2p / k_2p ) . ( k_1p / k_2p )

Verificación del valor de aceleración de la gravedad y de la validez de la expresión del período

T = 2p √ l/g

T = (1,6328 ± 0,0002) s

l = (66,4 ± 0,3) cm

(1,6328 ± 0,0002) s = 2p  √ (0,664 ± 0,003) m / g

[(1,6328 ± 0,0002) s / 2p]² = (0,664 ± 0,003) m / g

g_exp = (0,664 ± 0,003) m / 0,0675 s²

g_exp = (9,837 ± 0,189) m/ s²