Series numéricas.

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Sucesiones, CRITERIO DE LA INTEGRAL, CRITERIO DE COMPARACIÓN, COMPARACIÓN AL LÍMITE, SERIES ALTERNAS, CONVERGENCIA ABSOLUTA, ESTIMACIÓN DEL RESTO, CRITERIO DE LA RAÍZ, SERIES DE POTENCIA, SERIE DE TAYLOR

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 568 | Votar |

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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Series numéricas

Series, progresiones y aproximaciones al limite de una sucesion.: Límite de una sucesion. Ejercicios en los que dependiendo de los aciertos, se pasa a otras preguntas.

Practicas series sucesion: Ejercicios

Series numéricas.: Sucesiones, CRITERIO DE LA INTEGRAL, CRITERIO DE COMPARACIÓN, COMPARACIÓN AL LÍMITE, SERIES ALTERNAS, CONVERGENCIA ABSOLUTA, ESTIMACIÓN DEL RESTO, CRITERIO DE LA RAÍZ, SERIES DE POTENCIA, SERIE DE TAYLOR

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SUCESIONES

Diremos que {a_n} es convergente si lim a_{n = L (finito)}

ⁿ^��

Si {a_n}y {b_n}son convergentes tales que

lim a_{n = L}lim b_{n
= M ; Entonces:}

ⁿ^��ⁿ^��

{a_n} (�,*,/){b_n}= L(�,*,/) M

Si lim �|a_n|_{= 0}_��lim �a_{n= 0}

ⁿ^��ⁿ^��

Dada {a_n} diremos que C � R es una cota superior de {a_n} si C � a_n; B � R es una cota inferior si B � a_n. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

�

SERIES NUMÉRICAS

Diremos que una serie Sa_nes convergente si lim Sa_{n = L (finito)}

_�ⁿ^��

Series Geométricas (SKr^n-1; K,r � R)

�ⁿ⁼¹

La serie geométrica converge si �|r�|<1 y converge a

Sn= --------

1-r

Si Sa_{n y}Sb_nson convergentes a A y B respectivamente entonces:

Sa_n�Sb_n= A � B

Si SC*a_n; C=cte. �_�C*Sa_n= C*A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término "n", las dos tienen el mismo carácter.

Dada Sa_nconvergente � lim a_{n =}0

ⁿ^��

_�

�S1/n^p es convergente para p>1.

ⁿ⁼¹

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea y=�(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +�) y tal que �(n)= a_nentonces:

₊_{� ��+}_{� ��}

��(x)dx y Sa_n tienen el mismo carácter.

^{1 n=1}

CRITERIO DE COMPARACIóN

Sa_ny Sb_n de términos positivos.

Si Sa_n�Sb_n � si Sb_n converge se tendrá que Sa_n converge. Y si Sa_n diverge entonces Sb_n diverge.

COMPARACIóN AL LíMITE (para series de términos positivos)

Si � lim a_n/b_{n =}L (finito, positivo) a_n L*b_n

ⁿ^��

Entonces si a_n converge b_n converge y viceversa.

Si lim a_n/b_{n =}0 �si b_nconverge a_nconverge.

ⁿ^��

Si lim a_n/b_{n =}₊�si b_n diverge a_n diverge.

ⁿ^��

_�_�_�

SERIES ALTERNAS (S(-1)ⁿ⁺¹ a_n ó S(-1)ⁿ a_n )

_�ⁿ⁼¹^{��n=1}

Criterio Para Series Alternas.

Si lim a_n=0 y { a_n} es decreciente, entonces la serie es convergente.

ⁿ^��

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Dada Sa_n de términos de cualquier signo.

S�|a_n�| converge � Sa_n es convergente y diremos que Sa_n converge absolutamente.

Si S�|a_n��| diverge y �Sa_n converge, diremos que a_n converge condicionalmente.

CRITERIO DE LA RAZóN

Si lim |a_n+1|/|a_n|₌L; L<1 la serie converge absolutamente.

ⁿ^��

Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.

CRITERIO DE LA RAíZ

Si lim (|a_n|)^1/ⁿ=L; L<1 la serie converge absolutamente.

ⁿ^��

Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.

ESTIMACIóN DEL RESTO

Criterio de la Integral.

Resto(Rn)=S-Sn=a_n+1 + a_n+2+ a_n+3+...

₊_{� ��+}_�

��(x)dx �Rn��(x)dx _{��}

^{n+1 n}

Para Series Alternas

|Rn|�|a_n+1|<error

₊_�

SERIES DE POTENCIA (SC_n(x-a)ⁿ; serie de potencia centrada en a)

ⁿ⁼⁰

_�

�Sxⁿ=1/(1-x) � |x|<1

ⁿ⁼⁰

_�

�Sxⁿ/n!= e^x

ⁿ⁼⁰

Si una serie de potencia es convergente para x=x₁� converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x₁|.

Si una serie de potencia es divergente para x=x₂ � también es divergente para cualquier valor de x tal que �|x|>|x₂|.

SERIE DE TAYLOR

C_n=�ⁿ(a)/n! De lo que se obtiene:

_�

�(x)= S�ⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

ⁿ⁼⁰

Series numéricas.

Dada {a_n} diremos que C � R es una cota superior de {a_n} si C � a_n; B � R es una cota inferior si B � a_n. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

�

SERIES NUMÉRICAS

Series Geométricas (SKr^n-1; K,r � R)

La serie geométrica converge si �|r�|<1 y converge a

Sn= --------

Si Sa_{n y}Sb_nson convergentes a A y B respectivamente entonces:

�S1/n^p es convergente para p>1.

CRITERIO DE COMPARACIóN

SERIES ALTERNAS (S(-1)ⁿ⁺¹ a_n ó S(-1)ⁿ a_n )

_�ⁿ⁼¹^{��n=1}

CONVERGENCIA ABSOLUTA

ESTIMACIóN DEL RESTO

SERIES DE POTENCIA (SC_n(x-a)ⁿ; serie de potencia centrada en a)

�Sxⁿ=1/(1-x) � |x|<1

�Sxⁿ/n!= e^x

�(x)= S�ⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

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Series numéricas.

Dada {an} diremos que C � R es una cota superior de {an} si C � an; B � R es una cota inferior si B � an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

�

SERIES NUMÉRICAS

Series Geométricas (SKrn-1; K,r � R)

La serie geométrica converge si �|r�|<1 y converge a

Sn= --------

Si San y Sbn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

�S1/np es convergente para p>1.

CRITERIO DE COMPARACIóN

SERIES ALTERNAS (S(-1)n+1 an ó S(-1)n an )

� n=1 �������������n=1

CONVERGENCIA ABSOLUTA

ESTIMACIóN DEL RESTO

SERIES DE POTENCIA (SCn(x-a)n; serie de potencia centrada en a)

�Sxn =1/(1-x) � |x|<1

�Sxn/n!= ex

�(x)= S�n(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

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Dada {a_n} diremos que C � R es una cota superior de {a_n} si C � a_n; B � R es una cota inferior si B � a_n. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

Series Geométricas (SKr^n-1; K,r � R)

Si Sa_{n y}Sb_nson convergentes a A y B respectivamente entonces:

�S1/n^p es convergente para p>1.

SERIES ALTERNAS (S(-1)ⁿ⁺¹ a_n ó S(-1)ⁿ a_n )

_�ⁿ⁼¹^{��n=1}

SERIES DE POTENCIA (SC_n(x-a)ⁿ; serie de potencia centrada en a)

�Sxⁿ=1/(1-x) � |x|<1

�Sxⁿ/n!= e^x

�(x)= S�ⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.