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GEOMETRIAS NO EUCLIDEANAS
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Resúmen de las ideas planteadas en las geometrÃas euclideanas y en las no euclideanas.
Agregado: 28 de ENERO de 2005 (Por Miguel Morkin) | Palabras: 4026 | Votar |
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Categoría: Apuntes y MonografÃas > FilosofÃa >
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Publicado por Miguel Morkin osoambicioso@yahoo.com
GEOMETRIAS NO EUCLIDEANAS
por Ariel Gurevich
Para definir qué es la geometría, bien podríamos decir que es la disciplina o ciencia formal que estudia el espacio y los cuerpos, y que trata las propiedades y medidas de la extensión. De hecho, la definición precedente relaciona la geometría con sus orígenes. Con distintos niveles de complejidad, las distintas civilizaciones antiguas desarrollaron ciertos saberes geométricos nacidos de necesidades prácticas, por ejemplo, necesidades relacionadas con la agrimensura. Ya los egipcios sabían que uno de los ángulos determinado por un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, es rectángulo, pero era un saber obtenido por la práctica (esto nosotros lo podríamos demostrar aplicando el teorema de Pitágoras). Estos inicios de la geometría la fusionaron con el mundo material.
En el siglo III a.C., el matemático griego Euclides compila en un tratado los principios fundamentales de la matemática y de la geometría, y confecciona uno de los estudios científicos de mayor envergadura de la historia. Los Elementos es una obra que consta de trece libros que versan sobre los más diversos aspectos de la matemática. La tarea de Euclides es relevante para nuestro estudio porque abraza el ideal de sistematización deductiva propuesto por Aristóteles. Esto esta intrínsecamente relacionado con la concepción pitagórica de que lo real es lo que se halla en armonía matemática perfecta con el mundo. Euclides sistematizó toda la matemática conocida hasta el momento. En los Elementos se reconocen dos tipos de proposiciones. Los principios (proposiciones aceptadas sin demostración) y los teoremas (proposiciones obtenidas deductivamente a partir de los principios).
Dentro de los principios, Euclides propone una tripartición en definiciones, postulados y nociones comunes o axiomas. Las definiciones son simples menciones o descripciones de los objetos con los que voy a trabajar. Por ejemplo, decir que la línea es latitud sin longitud, o que extremos de líneas son puntos.
Los axiomas son afirmaciones sobre verdades intelectualmente evidentes e indiscutibles (siempre hablando desde el punto de vista griego). Se diferencian de los postulados en el sentido que no se refieren a principios matemáticos sintéticos sino a entes generales y presentes en cualquier mente. Los axiomas no pueden ser demostrados, sino que a partir de ellos se demuestran las propiedades de los objetos y los teoremas. Los axiomas son principios innatos presentes en cualquier mente. Por ello la veracidad de estos principios puede ser comprobada al interrogar a cualquier persona, aún sin que ésta sepa matemática, pues remiten a estructuras y a principios racionales innatos.
En los Elementos se enuncian los siguientes axiomas:
I. Cosas iguales a una y la misma son iguales entre sí.
II. Y si a cosas iguales se añaden otra iguales, los totales son iguales.
III. Y si de cosas iguales se quitan otras iguales, los restantes son iguales.
IV. Y si a cosas desiguales se añaden otras desiguales, los totales son desiguales.
V. Y las cosas dobles que una y la misma son iguales entre sí.
VI. Y las cosas mitades de una y la misma cosa son iguales entre sí.
VII. Y las cosas congruentes entre sí son iguales entre sí.
VIII. Y el todo es mayor que la parte.
Los postulados para los griegos es una petición, donde se postula aquello que no tiene existencia física mediante una construcción que haga posible una visión. A diferencia de los axiomas, que tienen un carácter universal y no se refieren a objetos determinados, los postulados son principios de un sistema en particular y se desprenden de la evidencia sensible relacionada con ese sistema. Aunque carecen de la evidencia intelectual de los axiomas, su veracidad también debe ser aceptada sin demostración, pues constituyen verdades sobre las propiedades geométricas de los objetos, tan claros y evidentes que no violentan el sentido común. Estos enunciados son verdades evidentes, y su negación injuriaría al sentido común.
Los cinco postulados enunciados en los Elementos son:
Postúlese
I. Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera
II. Prolongar por continuidad en línea recta una recta delimitada
III. Para cada centro y radio describir su círculo
IV. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
V. Que, si una recta incide sobre dos rectas, hace ángulos internos y de la misma parte
menores que dos rectos, prolongadas esas dos rectas al infinito coincidirán por la
parte en que estén los ángulos menores que dos rectos.
Así los postulados de la geometría euclideana son verdades sobre las propiedades geométricas de los objetos físicos, tan claros y evidentes que no violentan el sentido común ordinario. Como los postulados y axiomas son verdaderos, los teoremas también lo son (pues se desprenden deductivamente de los axiomas a través de razonamientos válidos). Así, la geometría euclideana conforma una red de enunciados verdaderos. Durante más de 2000 años se creyó que la geometría de Euclides describía perfectamente el espacio físico.
Su geometría tiene un enfoque no empírico. Euclides maneja entidades (punto, línea) que no pertenecen al mundo de la experiencia sensible (no son entidades de la naturaleza espacio-temporal), sino que constituyen una imitación o reflejo del mundo real. ¿Y cómo se llega a los principios entonces? Mediante la reflexión, nunca a partir de la intuición y la experiencia sensible.
Como ya fue mencionado, los postulados carecen de carácter universal, pues están enmarcados en un sistema, cuyas propiedades sustenta la veracidad del principio postular. El conjunto de concepciones preestablecidas que enmarca y sustenta el sistema de postulados euclideanos es el que le da forma a un espacio, el espacio euclídeo. A partir de las definiciones encubiertas que realiza Euclides al enunciar sus postulados, podemos inferir las propiedades del espacio euclídeo. Este espacio presenta las siguientes características: homogéneo, infinito, continuo (no presenta huecos), de tres dimensiones reversibles, de partes indiscernibles.
El escándalo de la geometría: el V postulado
Desde el momento en que leemos ese postulado, notamos que es especial. Es largo, sintácticamente y desde el punto de vista lógico más complejo. Su comprensión no es inmediata y se tiende a realizar un esquema para comprenderlo. Este postulado no reúne los requisitos griegos: simplicidad formal y autoevidencia. Además, en otra sección de los elementos se definen varios conceptos geométricos, como punto, recta o paralelismo. Sin embargo, en el postulado V no se menciona el término paralelismo.
Las discusiones acerca del V postulado continuaron. Muchos creyeron ver en él un teorema, e intentaron demostrarlo a partir de los cuatro restantes. Fracasaron por completo. Los que llegaban a demostrarlo, en algún punto del desarrollo apelaban a algún supuesto basado en la intuición, lo cual anulaba inmediatamente la demostración que estaban intentando realizar. Así confirmaron la indemostrabilidad del V postulado, que no hacía más que afirmar que no era un teorema sino un postulado.
l
Por lo tanto, otros matemáticos intentaron reemplazar el V postulado por otro equivalente que no violara los principios de simplicidad formal y autoevidencia. En este punto nos vamos a detener un momento antes de seguir con la explicación. ¿Qué quiere decir que un postulado sea equivalente a otro? Un postulado es equivalente a otro si utilizando cualquiera de los dos se demuestran los mismos teoremas. Efectivamente este postulado fue reemplazado por el que dice que por un punto (p) exterior a una recta (l) no puede ser trazada más de una paralela a la recta dada.
p
Este postulado es evidente: no viola ni la intuición ni el sentido común. De todas maneras los matemáticos quedaron insatisfechos. ¿Por qué cuestionar los postulados en los que se hacen afirmaciones sobre lo que ocurre en el espacio remoto? Porque trasciende el ámbito de la experiencia. Se supone que los postulados de las geometrías euclideanas son proposiciones verdaderas sobre las propiedades del espacio. ¿Podemos estar seguros de lo que ocurre a años luz de distancia? ¿Es posible prolongar líneas rectas en el espacio físico indefinidamente sin que se corten en algún momento? Entonces la exigencia de la autoevidencia comienza a tambalear, pues no podemos estar seguros de lo que ocurre en el espacio remoto.
El jesuita italiano Saccheri (1667-1733), después de 2 milenios de intentos y frustraciones, se propuso, una vez más, demostrar el V postulado. Su método es sumamente interesante y vale la pena que nos detengamos en su análisis. Saccheri se propuso negar el V postulado, utilizar los otros con la esperanza de llegar a una contradicción y deducir de ella -por el absurdo- la validez del postulado V.
Veámoslo simbólicamente: P1, P2, P3, P4, y P5 son los cinco postulados. A la negación del quinto la escribo como -P5. Si suponiendo que P1, P2, P3, P4 son verdaderos y que -P5 también lo es, y operando con todos a la vez arribo a una contradicción, deduzco de ella la validez del postulado original P5. Pero Saccheri no arriba a la contradicción, mostrando que la conjunción de P1, P2, P3, P4 y -P5 es verdadera. De esto se infiere que P5 es falso y por lo tanto no puede ser obtenido deductivamente a partir de P1, P2, P3 y P4. Por lo tanto P5 es independiente de los demás postulados. Si así no lo fuera, podría ser deducido de los otros, adquiriendo status de teorema.
Demostrando la independencia del V postulado, Saccheri puso en evidencia que la geometría euclideana no era la única posible. Si el postulado de las paralelas es independiente de los otros cuatro, se lo podría sustituir por otro incompatible con él pero compatible lógicamente con los primeros. Podían existir geometrías diferentes a las de Euclides. Saccheri plantó la semilla que germinaría en las mentes de brillantes matemáticos, entre los que se encuentran Gauss, Lovachevsky, Bolyai y Riemman, quienes se atrevieron a pensar que sería posible desarrollar sistemas geométricos coherentes partiendo de otro postulado. Las geometrías no euclideanas se estaban incubando, a la vez que el sólido edificio construido por Euclides comenzaba a derrumbarse.
Las geometrías no euclideanas entran en escena
A Gauss (1777-1855) muchos lo conocerán por el teorema que lleva su nombre cuando estudiaron polinomios. Su padre era albañil, pero la inteligencia precoz de su hijo demostró que tenía otras capacidades. A los 22 años terminó su tesis doctoral en matemática. Estudió astronomía, creo métodos para trazar mapas y se ganó con justicia el epíteto que lo recuerda como el príncipe de las matemáticas. Comenzó tratando de reemplazar el V postulado por otro más satisfactorio que no implicara afirmación alguna sobre lo que debe ocurrir en el espacio remoto, pero fracasó. A los 15 años se da cuenta que no puede inferir el postulado de las paralelas basándose en los principios restantes. Por consiguiente se da cuenta que esto implicaba elegir un postulado diferente del de Euclides y elaborar una nueva clase de geometría. Eso fue justamente lo que hizo, y por eso es considerado el creador de la primera geometría no euclideana. Desarrolló un sistema de axiomas que incluía el supuesto de que, por un punto dado, podía pasar más de una paralela a una recta dada. Los matemáticos del siglo XIX advirtieron la posibilidad lógica de que existieran otras geometrías en las que el postulado V fuera reemplazado. Gauss fue un adelantado en su época y llegó a la conclusión de que la geometría euclideana no era necesariamente la descripción correcta del espacio físico y que podía ser igualmente precisa para ello una geometría no euclideana.
Aunque su geometría era aplicable al espacio físico no se atrevió a hacer público su descubrimiento, debido a la poderosa influencia filosófica de Kant. Para Kant la geometría de Euclides no sólo era la única posible sino también la única verdadera, la única que era capaz de establecer reglas métricas con el mundo. Para Kant el espacio es una intuición pura que es otorgada al sujeto "a priori" - lo que es independiente de la experiencia- con propiedades inmutables y eternas. Tenemos idea del espacio puro a través de formas básicas de la intuición que son apriorísticas[1]. Esta concepción apriorística del espacio es la que asegura la verdad de los teoremas y axiomas de la geometría euclidena. Debido a esta poderosa influencia kantiana -que hizo que la difusión de las geometrías no euclideanas hayan sido tan lentas- los escritos de Gauss sobre estos temas fueron encontrados después de su muerte.
Los matemáticos del siglo XIX buscaron un postulado que reemplazara al de las paralelas de Euclides. Como consecuencia de ello, aparecieron 2 versiones para reemplazar al postulado V.
a) En un plano, por un punto exterior a una recta, pasan más de una paralela a la recta dada.
b) En un plano, por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a la misma.
Así nacieron dos geometrías no euclideanas alternativas: la geometría hiperbólica (utiliza el enunciado a) y la geometría elíptica (adopta el b).
Las publicaciones iniciales de sistemas geométricos no euclideanos fueron realizadas de forma independiente por Lovachevsky (1798-1856) y Bolyai (1802-1860), que desarrollaron la geometría hiperbólica.
Lovachevsky había llegado a la conclusión de que el quinto postulado de Euclides no podía inferirse de los restantes. Se había dado cuenta de que podían existir otras geometrías y la euclidiana no tendía que ser la única descripción correcta del espacio físico. En 1829 publica su nueva geometría que contradecía expresamente el postulado del paralelismo de Euclides.
Bolyai estudió matemáticas con su padre, quien lo incitó a reflexionar sobre el problema de las paralelas. Llegó independientemente a las mismas conclusiones que Gauss y Lovachecsky: por un punto exterior a una recta se pueden trazar, en el plano que la contiene, infinitas rectas paralelas a la recta dada. Cuando Bolyai le comunica a su padre los resultados que había obtenido, éste se horroriza y le pide que abandone la empresa: "témelo como a las pasiones sexuales, puede absorber tu tiempo, privarte de tu salud y la felicidad de tu vida". Finalmente, el padre publica en un apéndice de un libro suyo textos de su hijo y se los muestra a Gauss para pedirle opinión, pues conocía el interés de éste por las geometrías no euclideanas. Gauss queda profundamente asombrado, pues él había llegado a las mismas conclusiones trabajando de forma independiente durante los últimos 30 años.
Esto resulta un aspecto interesante de la historia de las geometrías no euclideanas: después de 2000 años de trabajo estéril, tres matemáticos de manera independiente y casi simultanea llegan a los mismos y audaces resultados.
Años más tarde, en 1854, en la Universidad de Götinga, se escucharían los revolucionarios resultados expuestos en la lectura de un tesis doctoral titulada Sobre la hipótesis en que se apoyan los fundamentos de la geometría. El flamante doctor Georg Riemann presentaba su sistema geométrico fundado en el concepto de curvatura, la Geometría Elíptica, que permitirá, en 1917, dar sustento a la Teoría de la Relatividad formulada por Albert Einstein. Riemann había llegado a la conclusión de que no era posible asegurar lo que ocurría en lugares remotos del espacio físico. La experiencia no pone en evidencia la existencia de rectas paralelas, reemplazo el V postulado por el que afirma que dos rectas cualesquiera se cortan. La nueva versión del postulado V sería: por un punto del plano no se puede trazar ninguna paralela a una recta dada (lo que equivale a decir que todas las rectas trazadas por un punto exterior a la recta dada cortan a esta última). Esta geometría no es ni la de Euclides, ni la de Gauss-Lobachevsky-Bolyai, pero es tan verdadera como aquellas.
Explorando las geometrías no euclideanas
Decir que por un punto exterior a una recta dada se pueden trazar infinitas rectas paralelas, o ninguna, viola nuestro sentido común. ¿Son consistentes estos sistemas geométricos? ¿Como saber que sus resultados no conducen a contradicciones? Hallando un modelo. ¿Y que es un modelo entonces? Los modelos son estructuras que se obtienen interpretando los términos de un sistema axiomático, para que dejen de ser meros grafismos sin significados y se transformen en proposiciones verdaderas.
Como bien recordaran, los sistemas formales como la geometría, la matemática, la lógica, trabajan con estructuras vacías, con símbolos. Importa la forma de relacionar esas estructuras vacías (despojadas de contenido, no interesa ni la pragmática ni la semántica). Por eso la dimensión que alcanza un sistema formal es meramente sintáctica. Toda interpretación de un sistema lógico es un modelo del mismo, que hace verdaderos todos sus axiomas, de modo que los teoremas (que se desprenden de ellos mediante razonamientos deductivos) también lo sean. El hallazgo de un modelo muestra la consistencia del sistema axiomático.
En definitiva, hallar un modelo de un sistema axiomático significa semantizarlo. Buscar una interpretación satisfactoria para los axiomas, es buscar una interpretación que los haga a todos semánticamente verdaderos. Todo teorema es verdadero semánticamente en toda interpretación que haga verdadera los axiomas.
Modificando cualquiera de los postulados de un sistema axiomático, el nuevo sistema tendrá consecuencias (teoremas) muy diferente de las del primero. Para comprender las diferencias entre la geometría euclideanas y las no euclideanas demostraremos la proposición "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos", válida sólo en el caso de la geometría de Euclides, pues es equivalente al V postulado. En un triángulo trazado en una superficie de Riemann, sus ángulos interiores suman más de 180º . Cuanto mayor es el triángulo, mayor es también la suma de sus ángulos interiores. Cuando el triángulo es muy pequeño comparado con la esfera, es casi plano, y la suma de sus ángulos interiores se aproxima a dos rectos.
Es importante mencionar que estos sistemas consideran a la geometría euclideana un caso límite, en el cual las líneas rectas son curvas de curvatura cero.
Geometría pura vs. geometría aplicada
El desarrollo de las geometrías no euclidianas dio lugar a la necesidad de distinguir entre el espacio matemático del físico. Siguiendo estos parámetros, también debemos distinguir entre geometría pura y geometría aplicada. La primera es una estructura abstracta del tipo de los sistemas axiomáticos sintácticos puros, donde los axiomas no son proposiciones que afirmen o nieguen un determinado estado de cosas sino que están despojados de significados (esto es lo que nos lleva a decir que un ciencia formal trabaja con estructuras vacías). Cuando se le otorgan significados fácticos a los términos, de modo que los axiomas hagan referencia a objetos del mundo real, la geometría pasa a ser aplicada o física.
Esto nos lleva a preguntarnos ¿Cuál es entonces la geometría del universo? Recordemos que los teoremas de un sistema son consecuencias deductivas de los axiomas. Para decidir a favor de tal o cual sistema geométrico, debemos comparar sus teoremas con el espacio físico. Esto fue lo que hizo Gauss. Midió la suma de los ángulos internos de un triángulo cuyos lados unían la cima de tres montañas distantes obteniendo un valor de 179º 59' 58''. Considerando las incertezas en todo proceso de medición, ¿lo anterior implicaba una victoria de la geometría de Euclides? Ya hemos visto que en la geometría de Riemann la suma de los ángulos interiores de un triángulo se aproxima a dos rectos cuando el área del triángulo disminuye más y más, lo que nos lleva a decir que en triángulos pequeños en las tres geometrías la sumatoria de los ángulos interiores es extremadamente cercana a 180º. Con los instrumentos que contaba Gauss era imposible resolver la cuestión por mediciones. Tendríamos que trabajar con triángulos muy grandes con vértices en galaxias muy distantes y así determinar que geometría corresponde mejor con el espacio físico.
Cabe aclarar que Einstein concluye que su teoría general de la relatividad se sustenta en el espacio que propone la geometría elíptica.
Conclusiones
El surgimiento de geometrías diferentes a la de Euclides, amplió el concepto de geometría y puso en tela de juicio el requisito griego de la autoevidencia de los axiomas. Esto debe ser relacionado con el nuevo carácter que adquieren los tres principios de la lógica aristotélica en la lógica simbólica. En primer lugar no se admite el criterio de autoevidencia. No hay proposiciones evidentes, que no tengan ni necesiten demostración porque su verdad se manifiesta de por sí. Por el contrario, hay proposiciones que se admiten como punto de partida en un determinado sistema. Son los axiomas, y sobre la base de ellos se demuestran los teoremas del sistema. Estos axiomas se toman como punto de partida, sin discutir su verdad fáctica. De la misma manera que los axiomas de la geometría de Euclides constituyen un conjunto posibles de puntos de partida a partir de los cuales deducir lo teoremas, pero no los únicos, como lo demuestra la presencia de las geometrías no euclideanas. De manera análoga, los principios lógicos no tienen un carácter absoluto en la lógica moderna.
La existencia de geometrías no euclideanas planteó un problema. ¿Eran aplicables al espacio físico? ¿Qué razones se podrían argüir para que el espacio físico no fuera euclideano? La primer respuesta fue que eran planteos extraños y absurdos. Las geometrías no euclideanas eran consideradas como mera curiosidad de orden lógico que además violentaban nuestra intuición. Esto ocurrió hasta la primera década del siglo XX, cuando Einstein aplica las nuevas geometrías al espacio físico: utiliza el espacio de Riemann en su Teoría general de la Relatividad. Las geoemetrías no euclideanas son aplicables al mundo físico, tan perfectamente válidas como la de Euclides.
La presencia de geometrías no euclideanas mostró que ninguno de los axiomas estaba avalado por la experiencia sensible, pues contenían afirmaciones sobre lo que ocurría en el espacio distante. Además hemos visto que si un sistema axiomático admite un modelo ello es garantía de su consistencia relativa. Los sistemas no euclideanos admiten modelo con marco en la geometría de Euclides. De esta manera, si las geometrías no euclideanas son consistentes , también lo es la de Euclides.
La presente guía, si bien constituye una exposición teórica no pretende cerrar conceptos sino que busca despertar nuevos interrogantes. El tema de las geometrías no euclideanas no debe abordarse de forma aislada. Es necesario cruzarlo con lo que han visto de lógica: que es una ciencia formal, como trabajan este tipo de sistemas, las diferencias con las ciencias fácticas. Mucho de los temas de este trabajo serán mejor comprendidos una vez que hallan abordado el problema del conocimiento en gnoseología y hallan pasado por las unidades de epistemología.
Para concluir, reflexionen sobre las siguientes frases:
q De la nada, creé un extraño y nuevo universo. Janos Bolyai.
q El lenguaje matemático es una especie de cuerpo desnudo al que hay que vestir según las circunstancias y los fines que se deseen lograr con él.
q ¿En qué medida pueden comparar un sistema formal con un juego de orden lógico? ¿Quién establece las reglas de ese juego?
Los que deseen profundizar en aspectos históricos y matemáticos de las geometrías no euclideanas pueden consultar el libro sin el cual este trabajo no hubiera sido posible:
q Edgardo Datri, GEOMETRíA Y REALIDAD FíSICA, de Euclides a Riemann, Buenos Aires, Eudeba, 1999.
[1] Exponer el pensamiento de Kant excede los objetivos del presente trabajo. Muchos de estos temas serán cabalmente comprendidos una vez cursada la unidad correspondiente a gnosceología.
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