(a) (b)

Fig. 2. (a) Triángulo geodésico. (b) Triángulo plano asociado al anterior.

9

En consecuencia, nos planteamos el problema de calcular la diferencia que existe entre los ángulos (A, B, C) del triángulo geodésico, y los ángulos del triángulo plano asociado (A₁, B₁, C₁), porque si conocemos estas diferencias, podemos establecer una relación entre ambos triángulos, de tal forma, que es posible aplicar las conocidas y sencillas fórmulas de trigonometría plana, a los triángulos geodésicos de la red considerada.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que los triángulos de una red geodésica, poseen unos lados cuyas longitudes rara vez superan los 100 km, en este caso podemos considerar los triángulos geodésicos como triángulos esféricos, para los cuales es válida la ley de los cosenos. Aplicando esta ley al triángulo de la figura 2(a) tenemos

a bc bc

cos = cos cos + sen sen cosA
R RR RR

donde R es el radio de la esfera sobre la que se construye el triángulo esférico. Despejando en la fórmula anterior cos A, podemos escribir

a bc

cos - cos cos
R RR

bc sen sen RR

si aplicamos ahora el desarrollo en serie de Taylor de las funciones trigonométricas, que aparecen en esta expresión, se tiene

cosA

2R2

+

24R⁴

b R

2R2

6R³y

+

c R

4

24R⁴y_V

c ³ ^

2R2

+

4

24R⁴y

ab habiendo despreciado los términos de quinto grado y superiores, en las cantidades , y

RR

Así, después de multiplicar y agrupar términos obtendremos

cosA

�2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

b + c - a a + b + c - 2ab - 2a c - 2cb

24R²bc

Ahora bien, para el triángulo plano de la figura 2(b), aplicando la ley de los cosenos, podemos escribir

a² = b² + c² - 2bc cos A₁

de donde

cos A₁

b² + c² - a² 2bc

10

¹ 2 2 ¹¹ 6R²

concretamente, la diferencia de ángulos buscada A-A₁ podrá escribirse como

bcsen A
A - A₁= ₂¹= (área del triángulo plano)/3R²

6R

recordando que el exceso esférico ε de un triángulo esférico, es precisamente el área del triángulo dividida por R², notamos que la corrección a considerar es la tercera parte del exceso esférico. Análogamente, para los demás ángulos podremos escribir expresiones similares, de tal forma que la corrección buscada para los ángulos del triángulo de la figura 2(a), determinados sobre el terreno, será en cada caso restar un tercio del exceso esférico, que como sabemos puede calcularse mediante

ε = A + B + C - 180� En consecuencia, las ecuaciones

εε ε

A -A=- B -B=- C -C=-

¹ 3 ¹ 3 ¹ 3

expresan el contenido del teorema de Legendre, para pequeños triángulos geodésicos (cuyos lados no sobrepasen los 100 km).

No obstante, debemos notar que las ecuaciones anteriores, permiten resolver triángulos geodésicos, es decir, calcular todas los lados de los triángulos geodésicos que forman una red, aplicando correcciones a los ángulos determinados sobre el terreno. Ésta es una forma válida de operar, pero también es posible aplicar correcciones a los lados, de tal forma que el resultado sea, directamente, las distancias buscadas, es decir, los lados del triángulo geodésico. Este método operacional, recibe el nombre de método de los aditamentos, siendo el objetivo final del mismo, determinar las correcciones o aditamentos, que es necesario aplicar a los lados de un triángulo, cuyos ángulos sean los determinados sobre el terreno (A, B, C), con el objeto de convertirlo en un triángulo plano, al que podemos aplicar la trigonometría plana para determinar sus lados.

Para desarrollar el método de los aditamentos partimos de la ley de los senos

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sen b - sentí senB
R ^R^senA

donde aplicamos, como hicimos antes, los desarrollos en serie de las funciones trigonométricas, considerando despreciables los términos de grado cuarto y superiores, en las

cantidades � y �, teniendo en consecuencia

R R

�3 3

^{RA 6R2J"R1 6R2JsenA}

si designamos

a³ b³

� = a - A = a' b - � = b - A = b'

6R 2 a 6R 2 b

podemos escribir

b' = a'senB

sen A

análogamente para el lado c, tendremos

, sen C

c =a

sen A

De esta forma, introducimos una cantidad A_s (donde s designa el lado considerado), llamada aditamento del lado s. Notando que las expresiones anteriores nos permiten escribir ahora

a' b' c'

senAsenBsenC

Estas expresiones constituyen la conocida ley de los senos, de la trigonometría plana; llevando nuestro problema, como consecuencia de ello, a la resolución de un triángulo plano.

Para llevar a cabo la resolución de una red de triángulos, siguiendo el método de los aditamentos, operamos como sigue:

1. Conocido un lado del mismo, por ejemplo el lado a, obtenemos

a' = a - A a

ya que, el aditamento A_a se puede obtener conocidos a y R.

2.       Con el valor hallado a' se calculan b y c', empleando para ello la ley de los senos.

3.       Obteniéndose a continuación los aditamentos A_b y A_c. Para ello, introducimos en la expresión de los mismos, los valores b y c', considerando que

b'³ = b³ c'³ = c³

debido a que la diferencia b - b es muy pequeña frente a b.

4. Con los valores de los aditamentos obtenidos, podemos escribir finalmente los valores de
los lados buscados (b, c), en la forma

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b = b′ + A_b c = c′ + A_b

6. Determinación de distancias

En cualquier campaña de triangulación, como las mencionadas anteriormente, se suelen medir bases sobre el terreno, siguiendo para ello, un método que consiste en medir con precisión una pequeña distancia, y a continuación, mediante una red de ampliación de base, se obtiene la distancia entre los dos vértices correspondientes. Este procedimiento fue mencionado en el apartado anterior, como una aplicación básica de la geodesia geométrica. Llegados a este punto es conveniente especificar cómo es posible hallar una distancia sobre la superficie de la Tierra, considerada en este caso como la superficie del elipsoide de referencia utilizado durante esa campaña.

En primer lugar, hay que decir que la forma de llevar a cabo las medidas directas que conlleva el cálculo de una base, ha cambiado mucho desde la antigüedad hasta nuestros días. Esta evolución es continua, y por tanto, sigue sucediendo en actualmente, de tal forma que los métodos a seguir estarán siempre sujetos a una continua revisión, para incorporar los recientes avances habidos en este tema.

Para ser conscientes de esta evolución, basta recordar que la medida de bases con precisión no fue realizada hasta el siglo XIX, fecha en la que se comenzaron a utilizar las reglas bimetálicas, que fueron inventadas por Borda en 1792. El método que se utilizaba con estas reglas, consistía en colocar cada regla, una y otra vez, a continuación de la otra. De esta forma, podían medirse distancias de 10 km, como mucho, con una precisión de 10^-6. El problema de este método está en lo laborioso del mismo y en la necesidad de conocer con precisión la longitud de la regla empleada. Con respecto a esto último, la precisión con la que se conoce la longitud de la regla empleada y cómo cambia esta longitud durante el proceso de medida de bases, hay que recordar que esta longitud puede conocerse de forma precisa, gracias a que la regla bimetálica está constituida por dos reglas de diferentes metales, sujetas por un extremo, siendo el otro extremo libre. De esta forma, puede medirse el desplazamiento relativo de una de ellas respecto de la otra, gracias a una regleta graduada colocada en la regla inferior. Entonces, la alteración de las longitudes habidas por la distinta dilatación térmica de estas reglas, puede medirse con precisión, hallándose también la verdadera longitud de la regla bimetálica empleada mediante la fórmula

b = A + Bδ

donde A y B son constantes conocidas, b es la longitud de la regla bimetálica en metros (aproximadamente 4 m) y δ es la lectura tomada en la regleta en mm.

En una versión posterior de este método, empleada por primera vez en 1885 por el sueco Jáderin, las reglas bimetálicas fueron sustituidas por los hilos de invar, estos hilos se colocan entre dos soportes y se tensan mediante dos pesas. Los hilos de invar están compuestos de un material llamado invar, cuya composición es 36 % de níquel y 64 % de acero; su longitud es de unos 24 m, con una sección recta de 1.65 mm de diámetro. Debido a su composición, estos hilos presentan la ventaja de variar muy poco de longitud por efecto de los cambios de temperatura, así las correcciones a efectuar por este efecto son siempre muy pequeñas. Otra ventaja que presenta el uso de estos hilos, reside en que con ellos medimos las distancias de 24 en 24 metros, mientras que con las reglas bimetálicas las distancias se miden de 4 en 4 metros. Con todo, el método sigue siendo muy laborioso, ya que, es necesario que no se produzca una desalineación, cuando se coloca el patrón una y otra vez, delante de la

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posición anterior. Esto ha hecho que estos métodos antiguos hayan sido gradualmente descartados, en favor de métodos más modernos de medida basados en la interferometría, o también en la medida de los tiempos de retraso de una señal enviada y recibida por una misma estación de registro.

Actualmente, los teodolitos dotados de distanciómetros ópticos (estaciones totales), son una herramienta muy útil para llevar a cabo las medidas que conlleva una triangulación, ya que, con ellos pueden medirse tanto ángulos como distancias, sin cambiar de instrumento, resultando cómodos y precisos. Generalmente, son instrumentos fáciles de manejar para el técnico que debe realizar las medidas, haciendo que una campaña de este tipo resulte menos costosa, en tiempo y esfuerzo.

En consecuencia, con los instrumentos mencionados o utilizando un distanciómetro, podemos calcular la distancia entre dos puntos en línea recta, a esta distancia se le llama en geodesia la cuerda. Pero debemos notar que la distancia buscada es la medida sobre la superficie de referencia, es decir, el arco (utilizando la terminología de la geodesia). Por ello, es necesario relacionar ambas, para obtener el arco a través de la medida directa de la cuerda.

Fig. 3. (a) Representación de las secciones normales recíprocas correspondientes a los puntos A y B. (b) Representación de la línea geodésica que une los puntos A y B.

La figura 3(a) representa este problema, en ella vemos que para dos puntos dados sobre la superficie de referencia, la cuerda es la línea representada por un trazo recto discontinuo. En cambio, la verdadera distancia entre tales puntos considerados, debe calcularse siguiendo la línea geodésica (curva de mínima distancia entre dos puntos, medida sobre la superficie) representada en la figura 3(b), como puede verse esta línea está situada dentro de las secciones normales recíprocas, representadas por las curvas AaB y BbA. La sección normal AaB es una curva que se define mediante la intersección de la superficie de referencia considerada (un elipsoide de revolución achatado por los polos), con el plano definido por la dirección normal a dicha superficie de referencia en el punto A (dirección n_a) y el punto B. Así, el corte de este plano y la superficie de referencia, es la curva AaB. De forma similar definimos BbA intercambiando los papeles que juegan los puntos A y B.

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Cuando consideramos distancias AB menores de 500 km, podemos aceptar que la medida del arco s_AB sobre la línea geodésica, es aproximadamente igual a la media de las medidas sobre las secciones normales recíprocas, es decir

s_AB = (s_A + s_B) / 2

obteniendo las cantidades s_A y s_B mediante el desarrollo en serie (Cid y Ferrer, 1997)

s = c 1 + ^c²-c³+ c (15k⁴-16k'²-24kk''+8kV) + ...
24 24 1152

donde c es la cuerda, s es la distancia s_A o s_B según se considere la sección normal AaB o BbA, k es la curvatura y r es la torsión (que por tratarse de una curva plana es cero). Los valores de la curvatura y sus derivadas respecto del arco (denotadas con prima), pueden hallarse aplicando el teorema de Euler (Cid y Ferrer, 1997).

Así, realizadas todas las operaciones la expresión anterior nos dará la distancia buscada. Debemos notar que cuando los puntos A y B sean muy próximos, la cuerda y el arco serán prácticamente la misma cantidad. Esta situación suele ser frecuente en la medida directa de bases sobre el terreno, donde las distancias consideradas no superan los 15 o 20 km.

7. Determinación de ángulos

Tal como puede verse en la figura 3(a), cuando nos situamos con un instrumento en el punto A, observando el punto B, o al contrario, cuando observamos el punto A desde el B; estamos determinando secciones normales recíprocas, de tal forma, que las medidas de los ángulos, llevadas a cabo en una triangulación estarán falseadas en una cantidad 8, como la representada en la figura 4, en la que podemos ver un triángulo geodésico ABC y las secciones normales recíprocas, correspondientes a las observaciones realizadas en sus vértices.

Fig. 4. Representación de un triángulo geodésico y las secciones normales recíprocas que corresponden a sus vértices. La curva de trazo grueso que une dichos vértices es la línea geodésica que pasa por ellos.

Para corregir estas medidas angulares se debe obtener, en primer lugar, el ángulo A que forman dos secciones normales recíprocas en un vértice, por ejemplo, el ángulo que

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forman las curvas AaB y BbA, en el punto A o en el B. En segundo lugar, debemos relacionar este ángulo con la pequeña cantidad ¿que constituye la corrección.

Para hallar el ángulo A tenemos en cuenta que éste será siempre una cantidad muy pequeña, entonces, obteniendo su tangente mediante la expresión (Cid y Ferrer, 1997)

tgA

s²

2

kt + s|-k't-kt'

donde r denota en este caso la torsión geodésica (que es distinta de cero). De esta fórmula y tras despreciar términos de grado s³ y superiores, podemos deducir (Cid y Ferrer, 1997)

2 2

A= 4a cos 24)sen 2A

donde <f> es la latitud del vértice para el que se calcula A, e es la excentricidad del elipsoide de referencia, a es su semieje mayor y A es el acimut de la sección normal directa.

Conocido A, obtendremos 8 mediante la suma de una progresión geométrica cuyo valor es la tercera parte de A. Esta progresión geométrica, proviene de un procedimiento matemático descrito con detalle por Zakatov (1981).

8. Transformación de coordenadas y cambio de dátum

En algunas ocasiones podemos encontrarnos con la necesidad de convertir coordenadas geodésicas medidas en distintos dátum, a un único dátum para poder utilizar todas estas medidas conjuntamente. Este problema puede surgir cuando recibimos mediciones realizadas por otros investigadores o técnicos, que trabajan habitualmente en un sistema de referencia distinto al que nosotros utilizamos. Para llevar a cabo esta transformación debemos tener en cuenta que esos otros sistemas de referencia pueden no ser geocéntricos. Esta situación está ilustrada en la figura 5(a), en la cual tenemos las coordenadas cartesianas (x', y', z') de un punto P (medidas en un sistema no geocéntrico con origen O'), relacionadas con sus coordenadas cartesianas (x, y, z) (medidas en un sistema geocéntrico con origen O), a través de la suma vectorial

r = r_o+(1 + k)Rr'

donde k es un factor de escala cuyo valor suele ser del orden de 10-⁶ y R es la matriz de rotación que define la transformación de coordenadas que relaciona ambos sistemas, dada por (Torge, 1991)

+ (1 + k)

vzoy

donde los ángulos (s_x, S_y, S_z) expresan las rotaciones indicadas en la figura 5(a). Estos ángulos suelen tener un valor muy pequeño, por eso se expresan habitualmente en segundos de arco. Es importante notar que la ecuación (8.1) expresa una relación entre coordenadas cartesianas. No obstante, en muchas ocasiones no trabajamos con las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P, sino con sus coordenadas geodésicas (<|>, X, h), donde � es la latitud geodésica (medida en grados norte), X es la longitud geodésica (medida en grados este) y h es la altura elipsoidal (medida en metros) ilustrada en la figura 5(b).

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(a) (b)

Fig. 5. (a) Representación del sistema de referencia no geocéntrico xyz, con respecto al sistema de referencia geocéntrico XYZ. (b) Posición de un punto P medida sobre un sistema de coordenadas cartesiano y sobre el elipsoide de referencia.

Entonces, nos damos cuenta de que es necesario poder convertir las coordenadas geodésicas (<|>, X, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z) y viceversa. Para ello, podemos recurrir de nuevo a una suma vectorial, como la representada en la figura 5(b)

r = r_Q + hN

donde los vectores están dados por (Cid y Ferrer, 1997)

r_Q = (p_N cos^cos^, p_N cos^) sen^, (1 -e 2 )p_N sen^) N = (cos^cos^, cos^sen^, sen^)

siendo (Cid y Ferrer, 1997)

₂ a²-b²

^PN= 1^²sen²? e ~~a²~

el valor del semieje menor b puede calcularse fácilmente, pues son siempre conocidos los

valores del semieje mayor a y del aplanamiento del elipsoide de referencia f, teniendo

entonces que

a � b f = � => b = a-af a

En consecuencia, podemos escribir las ecuaciones (Hofmann-Wellenhof and Lichtenegger, 1994)

x = (p_N+h)cos^cos^

y = (p_N+h)cos^sen^ (8.2)

z = ((1-e²)p_N + h) sen^

que nos permiten convertir las coordenadas geodésicas (<|>, X, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z). Para realizar la transformación contraria, es decir, para convertir coordenadas cartesianas (x, y, z) en coordenadas geodésicas (<|>, X, h), tenemos que invertir la relación (8.2). Esto puede hacerse de forma sencilla tal como indican Hofmann-Wellenhof y Lichtenegger (1994), mediante un proceso analítico y numérico que se puede realizar rápidamente en un ordenador.

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Llegados a este punto, tenemos ya las herramientas necesarias para abordar el problema de transformación de coordenadas planteado al principio de este apartado, así como, algunos otros problemas implicados en el mismo. Entonces, dependiendo de los problemas de transformación de coordenadas que tengamos planteados, podemos optar por aplicar una u otra fórmula, de las anteriormente obtenidas. Concretamente, los problemas que podemos resolver con las fórmulas (8.1), (8.2) o sus inversas; son los siguientes:

1)        Transformación de coordenadas geodésicas (é, A h) en coordenadas cartesianas (x y, z), dadas en el mismo dátum. Para resolver este problema recurrimos a aplicar directamente la fórmula (8.2).

2)   Transformación de coordenadas cartesianas (x y, z) en coordenadas geodésicas (é, A h), dadas en el mismo dátum. Para resolver este problema aplicamos la fórmula inversa de (8.2), que puede ser computada fácilmente de forma analítica y numérica.

3)   Transformación de coordenadas cartesianas (x', y', z') dadas en el dátum1 a coordenadas cartesianas (x', y', z') dadas en el dátum2. Para resolver este problema operamos en distintas etapas:

a) Aplicamos la fórmula (8.1) para convertir coordenadas cartesianas (x', y', z'), dadas en
el dátum 1, en coordenadas cartesianas geocéntricas (x, y, z). Para ello, necesitamos

establecer los valores de los parámetros (k, x_o, y_o, z_o, s_x, S_y, S_z), correspondientes al datum1. Estos valores pueden obtenerse desde varias fuentes. Por ejemplo, Torge (1991) ha establecido los valores de estos parámetros, para transformar coordenadas desde algunos de los dátum más utilizados al sistema geocéntrico WGS84 (el que se utiliza con GPS).

b) Aplicamos la inversa de la fórmula (8.1) para convertir las coordenadas cartesianas
geocéntricas (x, y, z), obtenidas en el paso anterior, en las coordenadas cartesianas (x', y',
z') dadas en el dátum2. Para ello, necesitamos establecer los valores de los parámetros (k,

x_o, y_o, z_o, s_x, S_y, S_z), correspondientes ahora al datum2. La inversa de la fórmula (8.1) puede realizarse fácilmente, programando las ecuaciones (8.1) de forma matricial en un ordenador, en ese caso todo el problema se reduce a invertir una matriz. Este problema de invertir una matriz es muy conocido y es fácil de resolver.

4) Transformación de coordenadas geodésicas (é, A h) dadas en el dátum1 a coordenadas
geodésicas (é, A h) dadas en el dátum2. Para resolver este problema podemos dividirlo en
tres problemas más simples que ya hemos resuelto antes:

a)       Transformar primero las coordenadas geodésicas (<|>, X, h) en coordenadas cartesianas (x', y', z'), para el dátum1 en el que están dadas. Para resolver este problema aplicamos directamente la fórmula (8.2), tal como en el problema (1) anteriormente resuelto.

b)  Transformar las coordenadas cartesianas (x', y', z'), obtenidas en el paso anterior, a coordenadas cartesianas (x', y', z') dadas en el dátum2. Para resolver este problema operamos como se ha indicado antes en el problema (3).

c)       Finalmente, transformamos las coordenadas cartesianas (x', y', z'), obtenidas en el paso anterior, en coordenadas geodésicas (<|>, X, h). Para resolver este problema aplicamos la fórmula inversa de (8.2), tal como se ha indicado en el problema (2) anteriormente resuelto.

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Aplicaciones de la Geodesia Física

9. Relación entre los observables físicos y la Geodesia

Como ya se ha dicho antes, en las campañas geodésicas se llevan a cabo medidas directas, tales como, determinación de distancias o de ángulos. Estas medidas están referidas al horizonte local, cuya dirección perpendicular es la línea de la plomada, es decir, la dirección del vector aceleración de la gravedad, en el punto en el que se ubica el instrumento. Es obvio entonces, que magnitudes físicas, como la masa y el campo de gravedad, juegan un papel importante en la geodesia, ya que, cuando colocamos un instrumento sobre el terreno no lo referimos a la dirección normal al elipsoide de referencia (que en ese momento es desconocida para nosotros), sino a la línea de la plomada.

En este sentido, el importante papel que juega el campo de gravedad terrestre, queda todavía más claro, si tenemos en cuenta que cuando el topógrafo representa la altura de un punto de la superficie de la Tierra, no son las alturas referidas al elipsoide de referencia las que tienen sentido, sino las alturas referidas al geoide (alturas ortométricas H). Así, el conocimiento de las alturas de los puntos de la superficie terrestre, determina el relieve que el topógrafo debe representar en los mapas topográficos. En consecuencia, altura ortométrica H de los puntos de la superficie terrestre, es una de las coordenadas que determinan la figura de la Tierra, junto con las coordenadas geodésicas latitud y longitud, siendo esta altura H una cantidad que requiere el conocimiento del campo de gravedad terrestre para su determinación.

Además, el valor preciso de las diferencias de alturas en los distintos puntos de la superficie terrestre, es absolutamente necesario para proyectar y construir diferentes instalaciones, así como, para la realización de cálculos en los cuales hay que tomar en cuenta la posición de los puntos en el espacio. Por ejemplo, cuando se desea diseñar correctamente grandes canales para la distribución de agua, o para la retirada de aguas residuales, es necesario saber dónde es mayor o menor el potencial de la gravedad terrestre. Para ello, es necesario determinar con precisión las alturas respecto al geoide.

Como consecuencia de todo lo dicho, es necesario dedicar un tiempo suficiente al estudio y comprensión, de todo lo relativo al campo de gravedad terrestre y al geoide. Precisamente el estudio riguroso de estos temas es competencia de la Geodesia Física, disciplina que comienza a desarrollarse en el siglo XIX y que alcanza su máxima expansión con el lanzamiento de los satélites artificiales en nuestro siglo, de cuyo seguimiento obtenemos la información más precisa del campo de gravedad global creado por toda la masa de la Tierra.

En este apartado dedicado a la Geodesia Física y sus aplicaciones, vamos a procurar sobre todo referirnos a las aplicaciones, concretamente, a las topográficas y geodésicas, enviando al lector a referencias especializadas (listadas al final de este tema) para obtener una descripción más completa de aspectos más teóricos, relacionados con el campo de gravedad y su potencial asociado.

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10. El campo de gravedad terrestre. Superficies de nivel. El geoide

El geoide como superficie de referencia fundamental, es una superficie cuya forma refleja la distribución de masas en la Tierra. Por ello, debemos empezar recordando cuál es la fuerza gravitatoria producida por una cierta distribución de masa y su potencial asociado, para entender cómo surge de estos conceptos y del concepto de superficie equipotencial, una definición de superficie de referencia, tal como es la definición de geoide.

Así, debemos comenzar recordando que cuando consideramos dos masas puntuales, separadas una distancia s, la fuerza con la que cada una atrae a la otra es

km₁m₂

(Ley de gravitación de Newton)

donde k denota la constante de gravitación, cuyo valor es 66.7x10^-9 cm³g^-1seg^-2. Si consideramos la masa atraída m₂ con valor unidad, la ecuación anterior puede escribirse como

km F= ₂

donde hemos denotado con m la masa atrayente. La representación de esta fuerza en un sistema de coordenadas cartesiano, es la que puede verse en la figura 1(a). A la vista de esta figura es fácil notar que el vector F se puede descomponer en la forma

F = - F (cos a, cos p, cos y)

km fx-� y-ri z-C s2

donde s = V(x - Q² + (y - r)² + (z - Q²

(a)

(b)

Fig. 1. (a) Fuerza de atracción gravitatoria debida a una masa puntual. (b) Fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra en punto P de la misma.

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También debemos recordar que el campo gravitatorio es un campo conservativo, por ello puede obtenerse a través del gradiente de un campo escalar, es decir

grad V = �,�,� = F

donde V es su función potencial asociada, el potencial gravitatorio, que en el caso de considerar una masa puntual adopta la forma

�km

V =

s

Cuando consideramos una distribución de masas puntuales, la expresión anterior se podrá generalizar mediante la aplicación del sumatorio

V- kmi

obviamente, para una distribución continua de masa M, el sumatorio debe ser reemplazado por la integral, escribiendo

V=k dm pdv

M s V s

donde p denota la densidad de masa y V denota el volumen del cuerpo considerado. En el caso de que este cuerpo sea la Tierra, debemos tener en cuenta que la misma no está en reposo, sino rotando con una velocidad angular de 0.7297x10-⁴ seg-¹. En este caso para poder considerar que la Tierra está en reposo y aplicar la ecuación anterior, debemos incluir una fuerza de inercia conocida como fuerza centrífuga, de tal forma que para cualquier punto P sobre la superficie de la Tierra debemos considerar una fuerza f, como la representada en la figura 1(b). Dicha fuerza puede escribirse como

f =ca2 p = (ca2 x,ca2 y, 0) = grad^=í^,^,^l ,, * = 1₂ (x 2 + y 2 )

dx dy dz) 2

donde/; es un vector distancia, paralelo al plano ecuatorial, que va desde el eje de rotación de la Tierra hasta el punto P. Esto nos lleva a una definición de potencial gravitatorio del tipo

W(x, y, z) = V + _t=k �d v + 1

suma del potencial gravitatorio terrestre V y el potencial centrífugo <|>. A este potencial obtenido como suma de los anteriores se le llama potencial de la gravedad, siendo su fuerza asociada conocida con el nombre de gravedad. Ésta puede ser obtenida mediante

grad W =,,� = g

l dx dy dz)

El módulo de este vector, o magnitud de la gravedad, se suele expresar en gales siendo 1 gal = 1 cm/seg². La magnitud de este vector se incrementa sobre la superficie de la Tierra cuando vamos desde el ecuador hacia los polos, debido a que disminuye la fuerza centrífuga. Concretamente, la gravedad en el ecuador es 978 gal y en los polos 983 gal, aproximadamente.

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En lo referente a W, el potencial de la gravedad, hay que recordar que la superficie para la cual éste es constante, es decir, W(x, y, z) = W₀, se denomina superficie equipotencial o superficie de nivel, siendo el geoide la superficie de equipotencial del campo de gravedad terrestre que coincide con el nivel medio de los océanos. La figura 2(a) nos muestra la relación que existe entre las superficies de nivel y la línea de la plomada, notando que estas superficies son normales a la línea de la plomada.

(a)

Fig. 2. (a) Superficies equipotenciales del campo de gravedad terrestre y línea de la plomada en un punto P. (b) Gravedad sobre una superficie equipotencial.

Las líneas de la plomada o normales a las superficies equipotenciales, son curvas de radio de curvatura finito y torsión no nula. Estas curvas son muy importantes en la geodesia, pues sirven para medir la altura de un punto P con respecto al geoide, a esta altura se le llama altura ortométrica. Esta altura no debe ser confundida con la altura sobre el nivel del mar, debido a que el geoide no es una superficie de océano ideal. Por ello, el geoide no coincide exactamente con el nivel del mar. En este sentido, uno de los objetivos de la geodesia es encontrar la separación de la superficie del océano y el geoide.

Centrándonos ahora en el concepto de altura ortométrica, podemos notar que el desplazamiento elemental dr, será paralelo a la línea de la plomada, en cada punto de la misma, por tanto

dW = g.dr = g dH cos (g, dr) = g dH cos 180� = - g dH

resultando obvio, que la gravedad no puede ser constante en la misma superficie equipotencial, debido a que estas superficies no son ni regulares ni concéntricas, con respecto al centro de masas de la Tierra. Esta situación está bien ilustrada en la figura 2(b), en la que podemos observar que

dW = -g₁dH₁ = -g₂dH₂ ⇒ g₁ ≠ g₂ por ser dH₁ ≠ dH₂ .

También hay que notar que esta definición de altura, en la que la superficie de referencia es el geoide, nos lleva a establecer un sistema de alturas en el que obtenemos la altura de un punto P en la forma

22

H =

_{W W g = J}

dC

0 g

donde C = W - W₀ es denominado número geopotencial.

Llegados a este punto cabe preguntarse qué relación existe entre este sistema de alturas y las alturas determinadas sobre el elipsoide de referencia. La respuesta a esta cuestión puede verse bien ilustrada en la figura 3(a), en la que representamos para un punto P, sus alturas asociadas, tanto la elipsoidal h como la ortométrica H, existiendo la sencilla relación

entre ambas alturas.

(a)

h = H + N

(b)

Fig. 3. (a) Altura ortométrica y elipsoidal en un punto P. (b) Elipsoide de referencia.

En consecuencia, determinada h o H, obtener la otra altura es sencillo si se conoce N, la ondulación del geoide. Éste es uno de los problemas principales de la geodesia práctica o aplicada, la determinación de las alturas del geoide sobre un elipsoide de referencia dado. Para resolver este problema hemos de fijar, en primer lugar, un elipsoide de referencia que sea lo más cercano a la figura de la Tierra, tomando por ello un elipsoide de revolución ligeramente aplanado por los polos. Este elipsoide vendrá definido entonces por dos parámetros, su semieje mayor a (aproximadamente el radio ecuatorial terrestre) y su aplanamiento f definido por

a - b

a

(b) Fig. 4. (a) Latitud astronómica de un punto P. (b) Desviación de la vertical en el punto P.

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donde b es el semieje menor. La figura 3(b) muestra las coordenadas elipsoidales de un punto P, sobre el elipsoide de referencia elegido. Estas coordenadas (<|>, X, h) no son obviamente las coordenadas que determinamos en una campaña geodésica. En una campaña geodésica realizada con instrumentos tradicionales (es decir, sin GPS) determinamos las coordenadas naturales (O, A, H). Esto es debido a que cuando situamos un instrumento sobre el terreno, la vertical es para nosotros la dirección de la línea de la plomada, tal como puede verse en la figura 4(a), siendo la latitud y longitud del lugar, la latitud y longitud astronómicas. La separación que existe entre la línea de la plomada y la normal al elipsoide de referencia en el punto P, punto en el que situamos el instrumento, está representada en la figura 4(b). A partir de esta figura pueden obtenerse las relaciones

� = <D-<|>

ti = (R cos <|> )(A -X) = (A-X) cos �

donde R es el radio de la esfera situada en el punto P, cuyo valor es la unidad. Las cantidades (�,, ti) reciben el nombre de componentes de la desviación de la vertical. Así, las medidas realizadas sobre el terreno en un vértice de una red geodésica (O_p, A_P, H_P), deben ser reducidas a las cantidades (&_P, h_P, h_P), medidas sobre el elipsoide de referencia utilizado en la campaña de triangulación, mediante las fórmulas

<|> = <!>-� � X = A- cos � h = H + N

donde si son conocidas la ondulación del geoide y las componentes de la desviación de la vertical, será fácil pasar del sistema de referencia físico al sistema de referencia matemático o viceversa.

A la vista de lo dicho en este apartado, el problema que queda planteado es pues la determinación de las cantidades (N, �, ti). Precisamente, éste va ser el objetivo del siguiente apartado. En primer lugar abordaremos el problema de calcular N, indicando a continuación como pueden calcularse (�,, t|). Estos aspectos se comentarán brevemente remitiendo al lector (como en otras ocasiones) a unas referencias especializadas, para conseguir una descripción más detallada de los métodos que se siguen en la obtención de las cantidades mencionadas.

11. Ondulación del geoide y desviación de la vertical

Cuando observamos la figura 3(a), notamos que la cantidad N que hemos definido como ondulación del geoide, puede obtenerse relacionando el elipsoide de referencia y el geoide. Para relacionar ambas figuras de la Tierra, es necesario notar que podemos escribir el potencial W en la forma

W(x, y, z) = U(x, y, z) + T(x, y, z) ,, U(x, y, z) = V(x, y, z) + <|)(x, y, z)

donde T se denomina potencial perturbador o potencial anómalo y U es la función potencial normal, asociada a un elipsoide de revolución cuya ecuación es

x²+y² z² 1

Entonces, la pequeña separación que existe entre la superficies W(x, y, z) = W₀ y U(x, y, z) = U₀ (con U₀ = W₀), estará relacionada directamente con el término T(x, y, z) mediante (Heiskanen y Moritz, 1985)

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N =

y

(Fórmula de Bruns) ,, y = grad U

donde y es denominada la gravedad normal. Este vector tendrá la dirección de la normal al elipsoide de referencia, tal como se indica en las figuras 3(b) y 4(b), siendo su diferencia con el vector gravedad denominada anomalía de la gravedad Ag. Esta última cantidad definida nos permite obtener el potencial perturbador y como consecuencia la ondulación del geoide, si llevamos a cabo un desarrollo en armónicos en esféricos de este potencial perturbador T (Heiskanen y Moritz, 1985), teniendo como resultado final las importantes relaciones

T =

2:: S(v|/)

Ag S(da ,, N =

4ttG - 6 sen (v|//2) + 1 - 5 cos \i - 3 cos \iln[ sen (v|//2) +

senV2)]

donde R es el radio medio terrestre (6371 km), G es el valor medio de la gravedad sobre la Tierra (979.8 gales) y a es el área de la esfera unidad. Estando por ello las integrales anteriores extendidas a toda la esfera unidad, tal como se indica en la figura 5(a). En esta figura y en la figura 5(b), podemos ver que el papel que juega el ángulo y.

(a)

(b)

Fig. 5. (a) Notaciones seguidas para obtener la fórmula de Stokes. (b) Relación entre las coordenadas polares (y, a) y las coordenadas geográficas (<|>, X), en la esfera de radio unidad.

La fórmula de Stokes publicada por él en 1849, es la expresión matemática más importante de la Geodesia Física, debido a que hace posible conocer la figura de la Tierra (es decir, la ondulación del geoide) a partir de datos gravimétricos. Debemos notar también que la ecuación integral de Stokes es el vínculo fundamental entre el campo de gravedad terrestre y la figura de la Tierra, confirmando la afirmación realizada al principio de este capítulo, cuando se decía que para avanzar hacia una figura de la Tierra más precisa que un elipsoide de revolución, era necesario considerar el campo de gravedad que crea la masa de la Tierra. Vemos ahora totalmente claro el papel tan importante que juega el estudio y determinación del campo de gravedad terrestre, en la obtención precisa de la figura de la Tierra, ya que, si disponemos una colección de datos suficiente (consistente en anomalías de la gravedad

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determinadas por toda la Tierra, entre otros datos) podemos obtener la ondulación del geoide, tal como se indica en las figuras 6(a) y 6(b).

(a) (b)

Fig. 6. (a) Mapa de la ondulación del geoide sobre un elipsoide de revolución. (b) Imagen del geoide en 3D mostrando los detalles de la forma del geoide, a una escala en la que se han exagerado los valores de la ondulación para ver mejor dichos detalles.

No obstante, hay que señalar algunas limitaciones en la aplicación de la fórmula de Stokes, debidas a las hipótesis realizadas para la obtención de la misma. Concretamente, debemos notar que:

1.      La fórmula presentada para la ondulación del geoide ha sido obtenida considerando que el elipsoide de referencia (superficie U(x, y, z) = U₀), tiene el mismo potencial que el geoide (U₀ = W₀). Además, esta superficie debe encerrar en su interior una masa que sea numéricamente igual a la de toda la Tierra.

2.      El elipsoide de referencia debe tener su centro en el centro de la Tierra.

3.      El potencial anómalo o potencial perturbador debe ser armónico fuera del geoide, es decir, T(x, y, z) puede ser desarrollado en armónicos esféricos. Esto significa que el efecto de las masas por encima del geoide, debe ser eliminado aplicando adecuadas reducciones a los valores de la gravedad determinados. De lo contrario, no será posible aplicar la expresión integral de Stokes.

En consecuencia, la determinación práctica del geoide, tal como se muestra en la figura 6(a), requerirá modificar la fórmula de Stokes para poder utilizar un elipsoide de referencia arbitrario. De tal forma que podamos emplear en el cálculo del geoide, una superficie de referencia U(x, y, z) = U₀ para la que no se requiera que U₀ = W₀, condición que en la práctica puede ser muy difícil de conseguir, limitando mucho los posibles elipsoides a emplear. Por otra parte, el cálculo por este método gravimétrico de la ondulación del geoide, nos obligará a eliminar el efecto de las masas por encima del geoide, adoptando para ello diversas hipótesis que podemos encontrar desarrolladas con detalle en la bibliografía más básica de la Geodesia Física (Heiskanen y Moritz, 1985; Vanícek y Krakiwsky, 1986).

Llegados a este punto cabe preguntarse si existe alguna expresión parecida a la fórmula de Stokes, que nos permita calcular la desviación de la vertical en un punto P del geoide. La respuesta es afirmativa, existen unas fórmulas parecidas a dicha fórmula que nos permiten hallar las componentes (ξ, η) de la desviación de la vertical, a partir de un conjunto

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de anomalías de la gravedad distribuidas por toda la Tierra. Estas fórmulas son debidas a Vening Meinesz y fueron obtenidas por este geodesta en 1928, su expresión es (Heiskanen y Moritz, 1985)

1 2n n dS( ) rcosa]

�Ag(|/,a)^N senydyda

4*G _{a=0 v=0} d_W [sena

donde a y y son las coordenadas polares sobre la esfera de radio unidad, tal como se indica en la figura 5(b), siendo da = sen y d|/ da y S(|/) la función de Stokes, cuya expresión ha sido dada anteriormente.

12. Ondulación del geoide y alturas ortométricas. Método GPS-Nivelación

Después de todo lo dicho en el apartado anterior, cuando volvemos a la sencilla fórmula

h = H +N

notamos que al obtener la cantidad N, tal como se ha indicado antes, siguiendo el método gravimétrico, podemos escribir

H = h - N

de donde, conocida la altura elipsoidal h del punto P considerado y determinado N mediante la integral de Stokes, puede hallarse la altura ortométrica H de ese punto. Cabe ahora preguntarse si es posible determinar también H, mediante los valores de la gravedad medida en la superficie de la Tierra, porque en caso afirmativo podríamos calcular la altura del geoide en un punto P, sin necesidad de recurrir a la integral de Stokes, la cual requiere para su solución una colección suficiente de medidas de la gravedad distribuidas por toda la Tierra.

En efecto, puede hallarse con precisión la altura ortométrica H de un punto sin tener conocimiento del geoide, o al menos sin un conocimiento detallado o muy preciso del mismo. El procedimiento que se sigue para calcular las alturas ortométricas directamente sobre el terreno se llama nivelación de precisión. A continuación vamos a describir este proceso con cierto detalle.

En principio, el procedimiento de nivelación geométrica es bien conocido por los topógrafos, consiste en medir la diferencia de altura entre dos puntos A y B, como los representados en la figura 7(a), mediante la observación de la diferencia de lecturas sobre dos miras verticales situadas en los puntos considerados. La diferencia de altura entre los dos puntos resulta ser entonces, la diferencia de las lecturas l₁ y l₂, observadas con el nivel (instrumento de nivelación), es decir

5H_Ab = l1 - l₂ = AA - BB

siendo 5Hab la diferencia de altura geométrica entre los puntos A y B. Cuando este procedimiento se repite una y otra vez, siguiendo un circuito de nivelación, es decir, una línea de nivelación cerrada, la suma algebraica de los incrementos de nivelación o diferencias de altitud medidas, no es exactamente cero, como cabría esperar si realizamos estas medidas con gran precisión. Este error, que se conoce como error de cierre de un circuito de nivelación, nos indica que el procedimiento de nivelación exacto, es algo más complicado que la simple determinación de las diferencias de altura.

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(a)

geoide (b)

Fig. 7. (a) Esquema del procedimiento de nivelación geométrica. (b) Diferencias de alturas ortométricas debidas al no paralelismo de las superficies de nivel.

Para entender lo que sucede basta considerar dos puntos A y B, suficientemente alejados, de tal manera que el proceso mostrado en la figura 7(a), debe ser aplicado repetidas veces. Esta situación es la que está representada en la figura 7(b), en esta figura la diferencia de altitud nivelada 8n, es distinta al incremento 5H_B en la línea de la plomada que pasa por B. Ello es debido al no paralelismo de las superficies de nivel, tal como se ve en la figura, en consecuencia, si designamos por 5W el incremento del potencial de la gravedad, tenemos

-8W = g5n = g'5H_B

donde g es la gravedad en la estación de nivelación y g' es la gravedad sobre la línea de la plomada de B en 5H_B. La relación anterior implica que

5H_B = g ⁵n * ⁵n

no habiendo relación geométrica directa entre el resultado de la nivelación geométrica y la diferencia del alturas ortométrica. Esta consecuencia es inmediata si notamos que la combinación de medidas geométricas con la gravedad, nos proporciona la diferencia de potencial 5W, de tal forma que

B W_B - W_A = -^ g5n

A

Así, la nivelación combinada con medidas de la gravedad nos proporciona diferencias de potencial, esto es, cantidades físicas no geométricas con una ventaja añadida, la diferencia de potencial entre dos puntos es independiente del camino que se siga, obteniéndose el mismo resultado con independencia de los itinerarios que se sigan, por ello, si medimos a lo largo de un circuito de nivelación (seguimos un trayecto cerrado) sucede que

W_A - W_A = 0 =

A

A

g dn

donde hemos cambiado el sumatorio por la integral por ser teóricamente más riguroso. Este resultado es imposible, en general, si consideramos sólo medidas geométricas, ya que, la suma de incrementos de nivelación depende de la trayectoria, esto es

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An_AB = B⁵n ,,

a a

dn = error de cierre

Como consecuencia de todo lo dicho, las diferencias de potencial son básicas en toda teoría de altitudes, concluyendo que la nivelación sin medidas de gravedad, que en la práctica puede aplicarse a pequeñas distancias (para las que las superficies de nivel son prácticamente paralelas), no tiene significado desde un punto de vista riguroso, llevando a contradicciones como es el error de cierre. Todo esto hace que se considere, en trabajos geodésicos de gran precisión como es la nivelación de precisión, la diferencia de altura ortométrica δH_AB en lugar de la diferencia de altura geométrica ∆n_AB, ya que, tal como puede verse en la figura 7(b), las alturas de los puntos A y B sobre el geoide H_A y H_B, son siempre las mismas con independencia del trayecto de nivelación que se siga entre ambos, debido a que la definición de altura ortométrica es consecuencia de principios físicos, no una cantidad obtenida de un sumatorio.

Quedando claro qué sistema de alturas debe usarse para obtener una gran precisión, el problema planteado es la realización de esta medida de altura, es decir, el procedimiento operativo que debe seguirse para calcular la altura ortométrica de un punto P. Para ello, vamos a considerar un punto P sobre la superficie de la Tierra, tal como se indica en la figura 8, designando por P₀ la intersección con el geoide de la línea de la plomada que pasa por P. Entonces, recordando la definición de número geopotencial, podemos escribir

donde

H

W₀ - W = C = g dH = H

0

H

_I

H

0

g dH = gH

g = g dH

0

es el valor medio de la gravedad sobre la línea de la plomada entre P y P₀. La expresión anterior nos permite obtener la altura ortométrica del punto P en la forma

g

H =

esta ecuación no es una tautología, es realmente una fórmula de utilidad práctica, debido a que la gravedad media g no depende fuertemente con la altura ortométrica. En consecuencia, sin un conocimiento preciso de la altura del punto P sobre el geoide, es decir, con un valor inicial de H suficientemente cercano a la verdadera altura ortométrica, podemos abordar el cálculo de la gravedad g . En este sentido, podemos encontrar expresiones aproximadas de g en diversos libros de geodesia (Heiskanen y Moritz, 1985).

Por otra parte, si se quiere aplicar la sencilla fórmula anterior es necesario hallar, además de g , el número geopotencial de P designado por C. Para ello, un procedimiento que

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puede seguirse es elegir un punto O al nivel del mar (es decir, sobre el geoide), eligiendo un punto apropiado sobre la costa. Entonces, puede determinarse el número geopotencial de P aplicando la integral

C = W₀ - W =∫ ₀^Pg dn

siendo como ya sabemos independiente del itinerario de nivelación utilizado para relacionar los puntos P y O. El número geopotencial se mide en unidades geopotenciales (u. g. p.). Estas unidades están derivadas de las unidades de la gravedad y de la altura, mediante la relación

1 ugp = 1 kgal.m = 1000 gal.m

como g es aproximadamente 0.98 kgal, tenemos que C es aproximadamente igual a 0.98H.

Los procedimientos descritos para el cálculo de los números geopotenciales y el valor de la gravedad media g , introducen un error muy pequeño en la determinación de la altura ortométrica. De tal forma, que las altitudes ortométricas pueden obtenerse con una precisión muy alta. Este hecho es fundamental en la geodesia, pues podemos emplearlas como un sistema de alturas muy preciso, pudiendo introducirlas como dato de gran precisión, en cualquier cálculo que requiera la altura de los puntos sobre la superficie de la Tierra. Concretamente, al retomar la fórmula presentada al principio de este apartado

h = H + N

si H puede ser obtenida con gran precisión siguiendo mediante nivelación de precisión y h puede también ser obtenida con gran precisión, por ejemplo, empleando para ello un sistema de posicionamiento como GPS, resulta como consecuencia que la determinación del geoide mediante estas dos cantidades, tendrá una precisión tan alta como la que poseen las medidas de alturas elipsoidales y ortométricas.

Esta técnica es muy empleada en la actualidad para obtener las alturas del geoide sobre el elipsoide de referencia, en trabajos geodésicos de gran precisión, basta mencionar como ejemplo el proyecto ALGESTAR (Bürki and Marti, 1990), cuyo objetivo fue llevar a cabo la computación de un nuevo geoide para Suiza, comprobando al mismo tiempo la fiabilidad de las medidas GPS en una zona muy montañosa. Para ello, se obtuvieron las ondulaciones del geoide aplicando la ecuación

N = h - H

donde h fue obtenida a partir de observaciones GPS y H a partir de la computación de los números geopotenciales (nivelación de precisión), siguiendo las líneas de nivelación de la Red Nacional de Nivelación que une los 40 vértices geodésicos de la Red Suiza de Triangulación. El resultado de este proyecto fue la obtención de las ondulaciones geoide para Suiza con una gran precisión.

13. Cálculo gravimétrico del geoide

En el apartado 9 indicamos que los receptores GPS permiten calcular las alturas elipsoidales, pero es necesario obtener las alturas respecto al nivel del mar (alturas ortométricas), para muchos fines prácticos. Entonces, las alturas elipsoidales se deben convertir en alturas ortométricas restando la altura del geoide. Para ello, es necesario computar las alturas del geoide, al menos con la misma precisión que la altura elipsoidal, para

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la latitud y longitud del punto considerado. En este aspecto se centra una de las principales aplicaciones de la geodesia física, puesto que permite obtener la altura del geoide para cualquier punto de la Tierra. Estas alturas del geoide se refieren, generalmente, al Sistema Geodésico de Referencia de 1980 (GRS80).

Los modelos geopotenciales pueden servir para calcular la ondulación del geoide. No obstante, las alturas del geoide provenientes de un modelo geopotencial no son, en general, suficientemente precisas. Por ello, es necesario determinar una corrección a las mismas. Esta corrección se determina a partir de las anomalías de la gravedad medidas sobre el terreno, para computar así un modelo de geoide más preciso. Debido a que las anomalías observadas sobre el terreno, están dadas en un área limitada y no pueden por tanto utilizarse para resolver la longitud de onda larga del campo de gravedad terrestre, es necesario considerar un modelo geopotencial para la computación de tales longitudes de onda. Como veremos a continuación, la contribución de esta longitud de onda larga corresponde a una aproximación suave del geoide, para la región bajo estudio.

El cálculo gravimétrico de una altura del geoide muy precisa, para una región dada, tendrá una gran utilidad práctica directa e inmediata para toda la comunidad de usuarios de GPS (Kaula, 1987). Estos resultados permitirán incorporar modelos más realísticos a los algoritmos de cálculo de las alturas ortométricas, reportando una mejora en la precisión de las alturas mencionadas, lo que conllevará evidentes beneficios para la geo-referenciación, la fotogrametría o el control geométrico de obras. En suma, serán beneficiarios de tales resultados aquellos científicos y técnicos, interesados en una localización más precisa sobre el terreno. Puesto que, usando medidas de posición con el sistema GPS obtendrán a la vez una precisión suficiente en planimetría, junto con una altura ortométrica precisa, hallada a partir de un modelo de geoide (cuya ondulación sea precisa) y la altura elipsoidal dada por GPS, pudiendo realizar medidas precisas de alturas ortométricas sin nivelación (Schwarz et al., 1987).

En relación con lo dicho en el párrafo anterior, algunas de las aplicaciones concretas en las que se puede usar directamente un modelo de geoide local son:

Fotogrametría. Tener un modelo de geoide, supone poder tomar puntos de apoyo sin necesidad de apoyarse en las redes geodésicas, que es lo que se hace actualmente para calibrar la altura elipsoidal (la obtenida con GPS), a altura ortométrica en la zona de trabajo (la que se necesita para la orientación absoluta del modelo estereoscópico). Para ello, suponemos que elipsoide y geoide son paralelos en esa zona, cosa que no es rigurosamente cierta. La limitación del trabajo de apoyo en campo en Fotogrametría, ya sólo estaría limitada por la capacidad de los equipos empleados y se elevaría el rendimiento de éstos, puesto que no habría que inmovilizar equipos GPS para las calibraciones. Además de lo mencionado anteriormente, si se dispusiese de un marco de referencia común entre los puntos sobre el terreno y el centro de proyección de las cámaras aéreas, se simplificaría todavía más el trabajo de apoyo de campo.

Topografía. Disponer de un modelo de geoide supondría poder realizar topografía de obras con GPS, cosa que hasta ahora está limitada a control planimétrico. Con GPS el control geométrico se abarata pues el número de operarios mínimos necesarios se reduce a la mitad.

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Caracterización agronómica y medioambiental. La posibilidad de determinar la altitud sobre el nivel del mar de forma rápida y eficaz, permitiría añadir la altitud como variable de estudio en los SIG (Sistemas de Información Geográfica), para su inclusión en los posteriores análisis con las demás variables geográficas.

Control hidrográfico, aforo de cuencas y temas hidráulicos en general. Estos temas se verían especialmente beneficiados, ya que, también se abarataría el coste de estas actuaciones al poder ser realizadas con GPS, que de no disponer de modelo de geoide no se podrían realizar. El agua circula en el sentido de los potenciales gravitatorios decrecientes y el sentido de los potenciales gravitatorios (altimetría obtenida por nivelación clásica) puede deducirse con el modelo de geoide y la altura elipsoidal.

Vista la importancia que tiene usar un modelo de geoide preciso, vamos a ver aquí cuál es el procedimiento operacional para obtenerlo. Para comenzar, hay que decir que las técnicas que vamos a describir a continuación, se han mostrado herramientas eficaces a la hora de indagar la ondulación del geoide, en distintas regiones de la Tierra (Kearsley, 1988; Forsberg and Kearsley, 1989; Torge et al., 1989; Yun, 1994). Estas técnicas pretenden evitar el problema que conlleva la obtención de anomalías de la gravedad en un área limitada, puesto que con estos datos no podemos resolver las largas longitudes de onda del campo gravitatorio terrestre. Por ello, necesitamos considerar un modelo geopotencial con el que podemos obtener estas longitudes de onda larga. Así, en un paso previo de computación, obtendremos las anomalías aire-libre referidas al modelo geopotencial, computando la diferencia con las anomalías predichas por este modelo, estas diferencias serán usadas en un procedimiento de integración con la FFT (Schwarz et al., 1990), para obtener finalmente la ondulación del geoide, la cual en un proceso de computación posterior será añadida a la ondulación del geoide predicha por el modelo geopotencial considerado. En suma, el proceso a seguir consta de las etapas que a continuación serán descritas (Corchete et al., 2005).

Interpolación de los datos de gravedad. En primer lugar, hay que saber que si queremos aplicar técnicas basadas en la Transformada de Fourier Rápida (FFT), es necesario pasar de la distribución irregular de puntos, dada por la localización geográfica de nuestras medidas de anomalías aire-libre de la gravedad, a una distribución regular de puntos en forma de una rejilla de puntos equidistantes. Como ejemplo, podemos ver en la figura 9(a) los datos de gravedad disponibles para calcular un modelo de geoide para el área ibérica. A la vista de esta figura notamos que estos puntos no están distribuidos de forma regular, hay zonas con muchos puntos y otras áreas que tienen muy pocos. Con esta distribución de valores no podemos aplicar las técnicas basadas en la FFT, pues estas técnicas requieren una distribución regular de puntos en forma de una rejilla de puntos equidistantes, como muestra la figura 9(b). Por otra parte, antes del proceso de interpolación es necesario reducir los valores de estas anomalías de la gravedad, con el objeto de trabajar con una colección de puntos cuyos valores sean lo más parecidos entre ellos que sea posible, para facilitar el trabajo de la interpolación y obtener entonces tras este proceso la mejor rejilla de valores posible. Para ello, antes de la interpolación es muy conveniente eliminar los efectos de corta longitud de onda debidos a la topografía y la batimetría. Esta corrección se llama corrección RTM (Forsberg and Tscherning, 1997) y nos permite obtener un campo de anomalías aire-libre suavizado, muy adecuado para la interpolación a una rejilla regular. Esta corrección suele ser aplicada junto con una corrección de onda larga, obtenida restando las anomalías de la gravedad predichas por un modelo geopotencial, a los valores de las anomalías aire-libre observadas. En suma, la corrección total que debemos aplicar a los valores de anomalías aire-libre mostrados en la figura 9(a) está dada por

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Ag^p_re^t_d^s = Ag_f^p_r^t_e^s_e-27ikp(h-h_ref)^pts + c^pts-Ag_G^pt_M^s (13.1)

donde el superíndice pts denota cada punto distribuido sobre el área de estudio de forma aleatoria, Ag_free es la anomalía aire-libre determinada en ese punto (figura 9(a)), k es la

constante de gravitación de Newton, p es la densidad de la topografía (2.67 g/cm³) para la corrección RTM en tierra o la densidad de la topografía menos la densidad del agua marina (2.67 - 1.03 = 1.64 g/cm³) para la corrección RTM marina, h es la elevación, h_ref denota la

elevación de la superficie de referencia, c es la corrección del terreno computada para puntos terrestres y marinos y Ag_GM es la anomalía de la gravedad computada desde un modelo geopotencial (esta computación será luego descrita).

(a)

(b)

Fig. 9. (a) Distribución geográfica de los valores de anomalías aire-libre de la gravedad,

medidos para el área ibérica. (b) Mapa de las anomalías de la gravedad interpoladas tras ser

reducidas mediante la fórmula (13.1).

En la fórmula (13.1), la superficie de referencia (cuya elevación h_ref es necesario

calcular) se obtiene mediante la aplicación de un filtro pasa baja en 2D, con una longitud de onda de corte de 60 minutos de arco. Este filtro se aplica al campo de elevaciones proporcionado por el modelo digital del terreno completado con la batimetría del área de estudio (Corchete et al., 2005). En la figura 10(a) podemos ver dicho campo de elevaciones y en la figura 10(b) la superficie de referencia obtenida con el filtrado 2D. Respecto a la corrección del terreno c, es necesario calcularla en ambos dominios terrestre y marítimo, porque tenemos datos de gravedad tanto terrestres como marinos. Esta corrección se calcula por integración en cada punto representado en la figura 9(a), por medio del procedimiento clásico de integración descrito por Torge (1989). En esta integración se ha considerado la densidad de las masas topográficas 2.67 g/cm³ y 1.03 g/cm³ la densidad del agua marina, extendiéndose la computación hasta una distancia de 0.75 grados desde el punto considerado.

Cuando hemos obtenido las anomalías suavizadas mediante la aplicación de (13.1), podemos ya interpolarlas para obtener la distribución regular de anomalías mostrada en la figura 9(b). Esta interpolación puede realizarse con cualquier software comercial diseñado a tal efecto, pues la colección de valores a interpolar está tan suavizada que cualquier software de calidad podrá fácilmente realizar dicha interpolación.

33

(a) (b)

Fig. 10. (a) Modelo de elevaciones del terreno proporcionado por el modelo digital del terreno SRTM, completado con la batimetría dada por ETOPO2. (b) Superficie de referencia obtenida mediante el filtrado 2D del campo de elevaciones representado en la figura 10(a).

Finalmente, debemos restaurar en estas anomalías interpoladas la información que hemos quitado antes para suavizarlas, es decir, debemos incorporar el efecto RTM que hemos quitado, pues de lo contrario nuestras anomalías habrían perdido gran parte de su información original. Para llevar a cabo esta restauración empleamos la fórmula

Ag

grid free

Agg_e^r_d^id + 2:rkp(h - h_ref )^grid - c^grid

(13.2)

donde el superíndice grid denota cada punto de la rejilla regular considerada, Ag_free es

la anomalía aire-libre de la gravedad representada en la figura 11 y Ag_red es la

anomalía de la gravedad reducida por (13.1) e interpolada en una rejilla regular (figura 9(b)). Hay que notar que2:rkp(h-h_ref )y c

son computados en la misma forma que antes, pero ahora sobre la rejilla regular de puntos considerada. La figura 12(a) muestra los valores del término 2:rkp(h-h_ref) y la

figura 12(b) los valores de la corrección del terreno c.

Fig. 11. Anomalías de la gravedad obtenidas tras la aplicación de la fórmula (13.2).

La corrección del terreno puede ser positiva o negativa cuando es computada en áreas marinas, dependiendo de la forma de la superficie del fondo marino (Torge, 1989). Esto no es posible en áreas continentales en las que la corrección del terreno es siempre positiva.

Computación del geoide. Cuando ya tenemos la rejilla de las anomalías de la gravedad, estamos en disposición de aplicar las técnicas basadas en la FFT, para calcular el geoide. Este cálculo se llevará a cabo sumando los tres términos siguientes

N = N₁ + N₂ + N₃ (13.3)

donde N₁ es término de onda larga obtenido a través de un modelo geopotencial, N₂ es la contribución del efecto indirecto originado por la reducción de Helmert y N₃ es el término de longitud de onda corta, obtenido de la integración de los datos de gravedad dados por (13.2),

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siguiendo el segundo método de condensación de Helmert. A continuación se indicará cómo son computados los tres términos de la fórmula (13.3).

(a) " " " " (b)

Fig. 12. (a) Término 2:rkp(h-h_ref) de la corrección RTM. (b) Corrección del terreno de la fórmula (13.2).

Contribución de onda larga (término N1). Está contribución se obtiene mediante un modelo geopotencial a través del desarrollo en serie de armónicos esféricos dado por (Heiskanen y Moritz, 1985)

N1

/ / P_nm(sin(p) [5J_nmcosm^ + 5K_nmsin m^] + N0 (13.4)

Á�� r I <¿�/

m=0

donde (5J_nm, SK_nm) son los coeficientes geopotenciales totalmente normalizados del potencial anómalo de a gravedad, a es el semieje mayor del elipsoide de referencia, kM es la constante gravitacional geocéntrica de la Tierra, P_nm son las funciones de Legendre completamente normalizadas, (r , cp, X) son la posición geocéntrica de los puntos sobre la superficie del geoide, y es la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, n_max es el grado máximo de el modelo geopotencial considerado y N₀ el término de grado cero del desarrollo.

(a) (b)

Fig. 13. (a) Ondulación del geoide obtenida a través de un modelo geopotencial para el área de estudio. Intervalo entre isolíneas: 1m. (b) Anomalía de la gravedad obtenida a través de un modelo geopotencial para el área de estudio.

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En la computación de la ecuación (13.4), es necesario obtener la posición geocéntrica r del punto considerado sobre el geoide, para ello, podemos seguir el procedimiento en dos pasos indicado por Kuroishi (1995). Según este procedimiento, calculamos en primer lugar el radio geocéntrico elipsoidal r_E asociado a las coordenadas (cp, X) del punto considerado. En un segundo paso y por medio de la ecuación (13.4), poniendo r = r_E obtenemos la anomalía en altura �_E, la cual puede ser usada como una primera aproximación de la ondulación del geoide en el punto considerado. Finalmente, obtendremos el valor de N(cp, X) en la posición geocéntrica del punto considerado r, empleando la fórmula (13.4) con el valor r = r_E + �_E. Hay que notar que según este método de computación, r es considerado como la posición geocéntrica de un punto P sobre el geoide, en lugar de considerar la posición geocéntrica del punto P sobre la superficie de la Tierra. Por esta razón, siguiendo este método de computación en dos pasos, lo que obtenemos son ondulaciones del geoide en lugar de anomalías en altura. En la figura 13(a) podemos ver los resultados obtenidos mediante la aplicación de la fórmula (13.4), a los puntos de la rejilla regular ubicada en el área de estudio.

Las anomalías de la gravedad predichas por un modelo geopotencial son necesarias para reducir las anomalías aire-libre observadas, tal como indica la ecuación (13.1). Estas anomalías de la gravedad, obtenidas a partir de un modelo geopotencial, pueden calcularse mediante el desarrollo en serie (Heiskanen y Moritz, 1985)

nmax kM

n=2 m=0

donde Ag₀ es el término de grado cero del desarrollo. En la computación de la formula (13.5), hemos usados el valor de la posición geocéntrica r obtenida previamente para la fórmula (13.4). La figura 13(b) muestra los resultados obtenidos mediante la aplicación de la fórmula (13.5), a los puntos de la rejilla regular ubicada en el área de estudio.

Efecto indirecto (término N₂). El efecto indirecto en el geoide debido a la aplicación del segundo método de condensación de Helmert se puede calcular en aproximación plana mediante los dos términos (Sideris, 1990)

N₂=-^h 2 (x,y)- kP ff h (x,y)~h (xp,y_p ) dxdy (13.6)

_pp 6y JJ

donde k es la constante gravitacional de Newton, p es la densidad de las masas topográficas (supuesta constante con valor 2.67 g/cm³), (x_p, y_p) son las coordenadas del punto de computación, (x, y) son las coordenadas de los puntos de integración, y es la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, A es el área de estudio considerada y h(x, y) es el modelo de elevaciones (figura 10(a)), considerando sólo elevaciones positivas, es decir, se consideran sólo las masas sobre el geoide. La aproximación plana expresada por la ecuación (13.6) puede ser escrita fácilmente en forma de convolución mediante (Schwarz et al, 1990)

donde

N -_KPh 2 - K f*h 3 + K gh 3 (13.7)

2 y 6y 6y

f(x,y)= (x2+y²)^3/2 g= f(x,y)dxdy

A

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