Modelado de elementos Peltier mediante analogía de parámetros eléctricos

J. A. Chávez, J. Salazar, A. Turó, J. A. Ortega, M. J. García

Grupo Sistemas Sensores, Departament d'Enginyeria Electrònica

Universitat Politècnica de Catalunya, C/ Jordi Girona 1 i 3, Módulo C4

08034 Barcelona, email:chavez@eel.upc.es

Abstract

The analogy between thermal and electrical variables is established in order to propose an electrical model for a Peltier cell. This is of a great help in the design of a complete temperature control system since it allows to check the global performance by using electrical circuit analysis programmes such as SPICE.

Resumen

Se estudia la analogía entre las variables térmicas y eléctricas como base para la propuesta de un modelo eléctrico de las células Peltier que contenga tanto los efectos eléctricos como los térmicos. Todo ello está orientado a conseguir modelos ajustados que permitan afinar el proceso de diseño de circuitos de control mediante el uso de programas de simulación de circuitos tales como SPICE.

1. Introducción

El desarrollo de circuitos de refrigeración basados en elementos Peltier, como alternativa a los refrigerantes convencionales que resultan muy contaminantes [1][2] (CFC, N₂, agua, aceites, ...), ha ido en aumento en los últimos años. Estos presentan grandes ventajas respecto a los anteriores. Por un lado, no es necesario el uso de consumibles y, además, el volumen ocupado es muy reducido en comparación con esos métodos.

Las células Peltier se aplican en la refrigeración de elementos sensores, tales como los fotoconductores, cuyas prestaciones mejoran a bajas temperaturas. Su utilización permite asegurar la estabilidad de la respuesta de estos sensores.

En nuestro caso, estamos trabajando [3] con sensores fotoconductores de seleniuro de plomo, PbSe, para la detección y cuantificación de la concentración de los gases presentes en una muestra de aire a partir de la medida de la absorción sufrida por un haz de radiación en la banda de 3 µm a 5 µm [4]. El uso de la refrigeración y estabilización con elementos Peltier está justificado ya que estos presentan una variación de la resistencia en oscuridad del 3%/^oC en temperaturas cercanas a 298 K [5][6][7].

Hemos trabajado con una agrupación de 20 elementos fotoconductores de PbSe[8] que incorporaba una célula Peltier en su interior con una capacidad de extracción de calor máxima de 0,97 W. La temperatura de trabajo era de -10 ^oC para una temeperatura ambiente cercana a 298 K, con un tiempo de estabilización máximo de 12 s (al 90 %).

Actualmente trabajamos con una agrupación de 64 [9][10] elementos fotoconductores de PbSe, New England Photoconductor, que nos permite una mayor resolución espectral. En el primer desarrollo del sistema de detección de gases se alcanza una resolución de 7 ppm, mientras que en el segundo se pretende llegar a 1 ppm. Para ello se debe asegurar una estabilidad en temperatura de 0,04 ^oC. Además, para conseguir un margen de temperaturas ambiente que llegue a los 50 ^oC y una temperatura de trabajo de -20 ^oC es necesario un salto térmico de unos 70 ^oC.

Para poder diseñar un sistema eléctrico es muy común el uso de simuladores tales como el SPICE. Según la bondad de los modelos de los elementos circuitales, el estudio realizado mediante estos programas puede ser muy útil en la valoración de los distintos circuitos de control, más aún cuando necesitamos una alta precisión en el control de la temperatura. El problema principal que aparece en la simulación SPICE del control de temperatura es la introducción del elemento Peltier, ya que este simulador trabaja con variables eléctricas. Como solución proponemos en este artículo un circuito eléctrico análogo al circuito térmico que podrá insertarse en los diseños con elementos Peltier.

2. Analogía entre las variables térmicas y las variables eléctricas

2.1. Fenómeno termoeléctrico

Teniendo en cuenta el efecto Seebeck [11], el efecto Peltier [12] , el efecto Thomson y el efecto Joule, en estado estacionario la ecuación diferencial que rige el flujo de la energía por unidad de volumen en una barra de material homogéneo, ver Fig. 1, es la siguiente

(1)

donde

a es el coeficiente de Seebeck,

t es el coeficiente de Thomson,

J es la densidad de corriente eléctrica,

r es la resistividad eléctrica y

k es la conductividad térmica del material.

Fig. 1. Barra de material homogéneo con gradiente de temperatura.

La resolución de (1) se realiza mediante métodos numéricos tomando los valores medios de las propiedades de transporte del calor del material [13][14]. Esto lleva a que el flujo de calor en la cara caliente q_c y el flujo de calor en la cara fría q_f se puedan expresar de la siguiente forma:

(2)

donde

T_c es la temperatura de la cara caliente,

T_f es la temperatura de la cara fría,

a es el coeficiente de Seebeck para una unión a la temperatura especificada,

t_m es el coeficiente de Thomson medio de una unión,

k_m es la conductancia térmica media de una unión,

R_m es la resistencia eléctrica media de una unión y

.

Los valores medios de las propiedades definidas del material se calculan en el margen de temperaturas que va de T_f a T_c.

Por último de (2) se deduce que la potencia eléctrica, igual al calor extraído de la cara caliente, es

(3)

En cuanto al comportamiento eléctrico, se ha de tener en cuenta la disipación de calor por efecto Joule y la aparición de una fuerza contraelectromotriz debida al efecto Seebeck dada por (4).

(4)

A continuación, describiremos las analogías entre los elementos eléctricos y los térmicos.

2.2. Analogías circuitales

En un circuito térmico trabajamos fundamentalmente con el flujo de energía (calor) y con las diferencias de temperatura. El flujo de energía se expresa en vatios (W) y la temperatura en grados kelvin (K). Tradicionalmente, en la literatura se considera que estas variables son análogas al flujo de corriente dado en amperios (A) y la diferencia de potencial expresada en voltios (V) de los circuitos eléctricos. Teniendo en cuenta esta analogía obtendremos el equivalente eléctrico de cada fenómeno de conducción de calor. Nos interesan en particular el fenómeno de conducción térmica y la inercia térmica. La Tabla I contiene un resumen de analogías entre variables térmicas y electricas, más adelante se detallarán individualmente.

2.2.1 Fuentes de calor

Las fuentes de calor proporcionan un flujo de energía P(t). Se considera que la fuente es independiente si el flujo es independiente de la diferencia de temperatura entre sus extremos, en caso contrario diremos que la fuente es dependiente. El equivalente eléctrico es una fuente de corriente de valor P(t). En la Fig. 2 se muestran los símbolos circuitales.

a) b)

Fig. 2. Fuentes de calor: a) independiente, b) dependiente

2.2.2 Fuentes de temperatura

Las fuentes de temperatura proporcionan una diferencia de temperatura DT(t) entre sus terminales. Se considera que la fuente es independiente si la temperatura no depende del flujo de calor a través de ella, en caso contrario la fuente es dependiente. El equivalente eléctrico es una fuente de tensión de valor DT(t). En la Fig. 3 se muestran los símbolos circuitales.

a) b)

Fig. 3. Fuentes de temperatura: a) independiente, b) dependiente

2.2.3 Conductividad térmica

La conductividad térmica es la facilidad con la cual un material conduce calor. Podemos obtener la relación entre el flujo de calor, por conducción, y la temperatura, para una dimensión, a partir de la ley de Fourier

₍₅₎

donde

q es el flujo de calor (W),

k es la conductividad térmica (Wm^-1 K^-1) y

A es la sección del material en la dirección de conducción del calor.

Normalmente la conductividad k varía con la temperatura. Si suponemos que trabajamos en un margen estrecho de temperaturas podemos tomar su valor medio de forma que nos quedaría

₍₆₎

donde l es la longitud del material y DT es la variación de la temperatura entre la cara caliente y la fría. Por lo tanto, según lo dicho anteriormente, la conductividad térmica se puede modelar con una resistencia eléctrica, ver Fig. 4, donde

q correspondería a la corriente,

DT a la diferencia de potencial y

k_mA/l a la resitencia.

Por tanto las unidades serían W/K.

Fig. 4. Analogía eléctrica de la conductividad térmica.

2.2.4 Inercia térmica

La inercia térmica o capacidad calorífica es útil durante la evaluación del tiempo de calentamiento o refrigeración de un componente. Dada la capacidad calorífica de un material homogéneo, c_o dada en (kJ kg^-1 K^-1), la variación de la energía calorífica acumulada en el material en función del tiempo se puede expresar según

₍₇₎

donde m es la masa del material (kg) y E es la energía acumulada en el material (kJ).

Suponiendo que la temperatura del material varía poco en torno a una temperatura de trabajo, podemos trabajar con una capacidad calorífica media c_m. Siguiendo las mismas consideraciones anteriormente expuestas, deducimos que este comportamiento se puede modelar por un condensador de capacidad mc_m por el que circula una corriente dq/dt y que tiene entre sus terminales una tensión DT, ver Fig. 5.

Fig. 5. Analogía eléctrica de la inercia térmica.

3. Modelo eléctrico de un elemento Peltier

Un elemento Peltier se puede modelar por un tripuerto donde dos de los puertos son térmicos y el tercero es eléctrico, ver Fig. 6. Cada puerto eléctrico se caracteriza por una diferencia de temperatura y un flujo de calor.

Fig. 6. Esquema de los puertos del modelo de un elemento Peltier.

La interacción entre la parte térmica y la eléctrica se modela mediante fuentes de corriente, o tensión, controladas por las variables en cuestión.

3.1 Puertos térmicos

El modelo térmico del elemento Peltier se deduce a partir de (3), sin tener en cuenta el efecto Thomson. Dos representaciones posibles se muestran en la Fig. 7. En la primera se ha tenido en cuenta las contribuciones de cada cara, por separado. En la segunda, se utilizan dos fuentes de corrientes que modelan el calor extraído de la cara fría y la potencia eléctrica suministrada al elemento Peltier que se traduce en calor.

Fig. 7. Modelo térmico de un elemento Peltier.

Las masas de cada una de las caras del elemento refrigerador se modelan mediante dos condensadores, ver Fig. 8. En la cara caliente tenemos el condensador C_c y en la cara fría el condensador C_f. Estos elementos capacitivos tendrán un valor muy pequeño, del orden de 2 J/K, en relación a la capacidad asociada a la masa de aluminio, del orden de 300 J/K.

3.2 Puerto eléctrico

Desde el puerto eléctrico se han de tener en cuenta dos influencias: el efecto Joule y el efecto Seebeck (fuerza contraelectromotriz generada por la diferencia de temperaturas ver (4)). En concreto, la potencia eléctrica disipada por el elemento Peltier dada en (3) nos lleva a modelar el elemento como una resistencia en serie con una fuente de tensión controlada por la diferencia de temperaturas entre la cara caliente y la cara fría, ver Fig. 9.

3.3 Circuito eléctrico equivalente

El modelo global de la célula Peltier debería incluir los tres puertos comentados anteriormente. En la Fig. 10 se presenta el modelo final que proponemos. El símbolo de las fuentes de corriente y tensión se ha cambiado de forma, de circular a romboidal, para denotar que se tratan de fuentes dependientes controladas por otras magnitudes presentes en el circuito.

Fig. 10 Modelo eléctrico de una célula Peltier.

4. Conclusiones

Hemos propuesto un modelo para las células Peltier basado en la analogía entre las variables eléctricas y térmicas. Este modelo permite el estudio ajustado del diseño de la electrónica asociada a estos dispositivos ya que podemos utilizar las herramientas de análisis de circuitos para simular la respuesta global del sistema. El paso del modelo eléctrico a los diferentes simuladores es inmediato.

Bibliografía

[1] Legislación sobre medio ambiente, Ed. Civitas, Cuarta edición, 1997.

[2] Caracteristiques d'explosivite et de toxicite des principaux gaz et vapeurs inflammables, Sciences & techniques internationales s. a., Paris.

[3] D. Lajara, J. A. Chávez, J.A. Ortega, J. Alba y M. García, "Controlador y estibilizador de temperatura de un array de fotoconductores basado en un par de elementos Peltier", XII Symposium nacional de la unión científica internacional de radio URSI. Bilbao, Septiembre 1997.

[4] J. A. Chávez, J.A. Ortega Redondo, J. Alba y M. García, "Espectrometría infrarroja con array de fotodetectores", Sem. anual de automática y electrónica industrial, pp. 90-93, Septiembre 1994.

[5] J.N. Humphrey, "Optimization of lead sulfide infrared detectors under diverse operating conditions", Applied Optics 4, 665-675, 1965.

[6] T.H. Johnson, J.J. Long, C.d. Matteson,"Lead selenide detector arrays", IRIS Vol. 13, No.1, 1969.

[7] T.H. Johnson, "Lead salt detectors and arrays; PbS an PbSe", Proc, of the SPIE 443, 60-94, 1984.

[8] J.A. Ortega, M.A. Pérez, M. García, J. A. Chávez, A. Moreno "Sensor Inteligente Detector de Gases. Subsistemas óptico y Electrónica Analógica", Seminario anual de automática y electrónica industrial, pp. 303-306, Tarragona, Septiembre 1995.

[9] M.A. Pérez, Espectrofotómetro IR para la medida de gases contaminantes: subsistemas óptico y de acondicionamiento, Proyecto fin de carrera, Univ. Polit. de Cat., Dep. Eng. Elec., 1996.

[10] R. Cantó, Espectrofotòmetre IR per a gasos (3 µm - 5 µm): condicionament, control i processament de dades, Proyecto fin de carrera, Univ. Polit. de Cat., Dep. Enginyeria Electrònica, 1997.

[11] T. J. Seebeck, "Magnetische Polarisation der Mettalle und Erse Durch Temperature-Differens", Abhandlungen der Deutxhen Akademieder Wissenschaften su Berlin, 1822.

[12] J. C. Peltier, "Nouvelles experiences sur la caloricite des courans electriques", Annales de chimie LVT, 1934.

[13] J. M. Redondo, "Termodinámica de los procesos irreversibles, efectos termoeléctricos ", Revista de Termoelectricidad, pp. 16-29, January 1995.

[14] The CAMBION thermoelectric handbook, Cambridge thermionic corporation, Cambridge, Massachusetts, 1972.